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第二节 二次函数的图像与性质
1．能够利用描点法做出函数y＝ax，y=a(x-h)，y＝a(x-h)+k和y?ax?bx?c图象，
2
22
2能根据图象认识和理解二次函数的性质；
2．理解二次函数y?ax?bx?c中a、b、c对函数图象的影响。
2
一、二次函数y?ax2?bx?c图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数y?ax2?bx?c化为顶点式y?a(x?h)2?k，确定
其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们
c?、c?关于对称轴对称的点?2h，c?、选取的五点为：顶点、与y轴的交点?0，以及?0，0?，?x2，0?（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 与x轴的交点?x1，画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.
例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y＝x ，y＝-x ，y＝2x ，y
222
＝-2x2 ，y＝2（x-1）2 的图像。
一、二次函数的基本形式
1. y＝ax的性质：
a的符号 2
y O x 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 向下 性质（增减性） x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y有最小值0． x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y有最大值0． a?0 a?0 （0，0） （0，0） y轴 y轴
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2. y＝ax
a的符号 2
＋k的性质： （k上加下减）
开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质（增减性） x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y有最小值k． x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y有最大值k． a?0 （0，k） y轴 （0，k） y轴 a?0 向下 3. y＝a（x-h）的性质： （h
a的符号 2
左加右减）
性质（增减性） x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值0． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y有最大值0． 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 a?0 （h，0） （h，0） 直线x=h 直线a?0 向下 x=h
4. y＝a (x－h)
a的符号 2
＋k的性质：
性质（增减性） x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值k． 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 a?0 （h，k） （h，k） 直线x=h 直线a?0 向下 2
x=h x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y有最大值k． 5. y＝ax
a的符号 +bx+c的性质：
开口方向 顶点坐标 对称轴 x??性质（增减性） b时，y随x的增大而增大；2ab时，y随x的增大而减小；2aa?0 向上 直线?b4ac?b2?b??，? 2a4a x????2ax??4ac?b2b． x??时，y有最小值4a2ax??b时，y随x的增大而减小；2ab时，y随x的增大而增大；2aa?0 向下 直线?b4ac?b2?b??，? 2a4a??x?? 2ax??4ac?b2b． x??时，y有最大值4a2a
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二、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h?2k?；?k，确定其顶点坐标?h，
k?处，⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变，将其顶点平移到?h，具体平移方法如下：
y=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字
“左加右减，上加下减”．
方法二： 22⑴y?ax?bx?c沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y?ax?bx?c变成
y?ax2?bx?c?m（或y?ax2?bx?c?m）
⑵y?ax?bx?c沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，y?ax?bx?c变成
22y?a(x?m)2?b(x?m)?c（或y?a(x?m)2?b(x?m)?c）
四、二次函数y?a?x?h?2?k与y?ax2?bx?c的比较
从解析式上看，y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c是两种不同的表达形式，后者通过配b?4ac?b2b4ac?b2?方可以得到前者，即y?a?x???，其中h??，． k?2a?4a2a4a?22六、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于x轴对称
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y?ax2?bx?c关于x轴对称后，得到的解析式是y??ax2?bx?c；
y?a?x?h??k关于x轴对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k；
22 2. 关于y轴对称
y?ax2?bx?c关于y轴对称后，得到的解析式是y?ax2?bx?c；
y?a?x?h??k关于y轴对称后，得到的解析式是y?a?x?h??k；
22 3. 关于原点对称
y?ax2?bx?c关于原点对称后，得到的解析式是y??ax2?bx?c； y?a?x?h??k关于原点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k；
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．
例1、
抛物线 对称轴 顶点坐标 开口方向 位置 增减性 最值 例2、已知直线y=－2x＋3与抛物线y=ax相交于A、B两点，且A点坐标为（－3，m）．
2
22y=－2x＋6x－1 2y=2x＋6x－1 2（1）求a、m的值；
（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；
（3）x取何值时，二次函数y=ax中的y随x的增大而减小；
2
（4）求A、B两点及二次函数y=ax的顶点构成的三角形的面积．
例3、求符合下列条件的抛物线y=ax的表达式：
2
2
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（1）y=ax经过（1，2）；
2
12
（2）y=ax与y=x的开口大小相等，开口方向相反； 22
1（3）y=ax与直线y=x＋3交于点（2，m）．
22
例4、试写出抛物线y=3x经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。
2
（1）右移2个单位；（2）左移 个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。
3
2
例5、把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解
2
析式是y=x－3x+5，试求b、c的值。
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2
训练题:
1．抛物线y=－4x－4的开口向 ，当x= 时，y有最 值，y= ．
2
2．当m= 时，y=（m－1）x
2
m2?m－3m是关于x的二次函数．
3．抛物线y=－3x上两点A（x，－27），B（2，y），则x= ，y= ． 4．当m= 时，抛物线y=（m＋1）x
m2?m＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左
侧，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，y随x的增大而 ．
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二次函数的图像和性质知识点与练习
