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利用放缩法证明数列型不等式压轴题
惠州市华罗庚中学 欧阳勇
摘要：纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯。
关键词：放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题 主体：
一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用
1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式
问题。裂项放缩法主要有两种类型：
（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。
412例1设数列?an?的前n项的和Sn?an??2n?1?，n?1,2,3,333n?1,2,3,，证明：
2n。设Tn?，
Sn?Ti?i?1n3。 232n3112n?1n?(?)， 证明：易得Sn?(2?1)(2?1),Tn?2(2n?1?1)(2n?1)22n?12n?1?133n1131111T?(?)?(??????iii?1122322?12?122?12?12?12?1i?1i?1 =
n?11?)2n?12n?1?13113(1?n?1)? 22?12?122n11?点评： 此题的关键是将n?1裂项成，然后再求和，即可nnn?1(2?1)(2?1)2?12?1达到目标。
（2）先放缩通项，然后将其裂成n(n?3)项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。
例2 已知数列{an}和{bn}满足a1?2,an?1?an(an?1?1)，bn?an?1，数列{bn}的
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（I）求证：Tn?1?Tn； （II）求证：当n?2时，S2n?7n?11。 1211111证明：（I）Tn?1?Tn?????(??n?2n?32n?2n?1n?2?1) 2n∴Tn?1?Tn． （II）
n?2,?S2n?S2n?S2n?1?S2n?1?S2n?2??S2?S1?S1
由（I）可知Tn递增，从而T2n?1?T2n?2?即当n?2时，S2n?17?T2，又T1?,S1?1,T2?，
2127n?11。 12点评：此题（II）充分利用（I）的结论，Tn递增，将S2n裂成
S2n?S2n?1?S2n?1?S2n?2?项。用于解决积式问题。
?S2?S1?S1的和，从而找到了解题的突破口。
2、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间
*例3 已知数列?an?的首项为a1?3,点?an,an?1?在直线3x?y?0(n?N)上。 3** 若cn?log3an?2(n?N),证明对任意的n?N ，不等式
(1?11)(1+)?c1c2?(1+1)?33n?1恒成立． cn证明： cn?3n?2，(1+133n?133n?13n3n?13n?1)?()???? cn3n?23n?23n?13n3n?2?3n?1?3n?1
3n?2所以[(1?11)(1+)?c1c2?(1+?(1+1347)]???cn14(1?11)(1+)?c1c21)?33n?1。 cn点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更容易处理。(1+133n?13)?()可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两cn3n?2项假分数分子分母同时加1，加2，则积变小，(而通项式为{3n?133n?13n3n?13n?1)???? 3n?23n?23n?13n3n?23n?1}的数列在迭乘时刚好相消，从而达到目标。 3n?22word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。
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3、迭代放缩法：通过放缩法构造递推不等关系，进行迭代，从而求解。
例4 已知数列{xn}满足，x1?1112n?1,xn?1?,n?N*，证明：|xn?1?xn|??()。 21?xn65证明：当n?1时，|xn?1?xn|?|x2?x1|?当n?2时，易知0?xn?1?1,1?xn?1?2,xn?
1，结论成立。 611?
1?xn?12点评：此题将目标式进行放缩得到递推不等关系，进行迭代，找到解题途径。
4、等比公式放缩法：先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标
转化。
例5已知数列?an?的各项均为正数，且满足a1?2,an?1?12an?(n?N?),记
an?1an?1bn?an2?an，数列?bn?的前n项和为xn，且f(xn)?（I）数列?bn?和?an?的通项公式； （II）求证：
1xn． 2n?1f(x1)f(x2)???2f(x2)f(x3)n?f(xn)n?(n?N?)．
f(xn?1)21?1?2n?2n略解：（I） bn?2，an?，f(xn)?2?1。
2f(xn)2n?12n?11?n?1??, 证明：（II）
f(xn?1)2?12(2n?1)22?f(x1)f(x2)??f(x2)f(x3)?f(xn)n?．
f(xn?1)2?f(xn)n?．
f(xn?1)2∴
n?1f(x1)f(x2)???2f(x2)f(x3)2n?11n1?；左反思：右边是，感觉是n个的和，而中间刚好是n项，所以利用n?12?1222边是
n?1n?1n1??(?f(n))(f(n)?0)，试着考虑将不能用同样的方式来实现，想到
22222n?11?cn({cn}是等比数列）缩小成，从而找到了此题的突破口。
2n?1?123word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。
利用放缩法证明数列型不等式压轴题
