函数的概念与表示
一、 知识梳理：（阅读教材必修1第15页—第26页） 1、 函数 （1）、函数的定义：
（2）、构成函数的三要素：函数的定义含有三个要素，即定义域A，值域C，对应法则f，当定义域A，对应法则f相同时，两个函数表示是同一个函数，解决一切函数问题必须认真确定函数的定义域，函数的定义域包含四种形式： 自然型；限制型；实际型；抽象型；
（3）函数的表示方法：解析式法，图象法，列表法 2、 映射
映射的定义： 函数与映射的关系：函数是特殊的映射 3、分段函数
分段函数的理解：函数在它的定义域中对于自变量x的不同取值上的对应关系不同，则可以用多个不同的解析式来表示该函数，这种形式的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是多个函数。
4、函数解析式求法
求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；
（2）已知f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x)：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；
（4）f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；
（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等． 二、题型探究
探究一：求函数的定义域 例1：
1. 【15年新课标2文科改编】如图,长方形的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记?BOP?x ,将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f?x? ,则的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B，本题在解题时，突破点可以抓住定义域。 2、函数y=
2x?5的值域是{y|y≤0或y≥4},则此函数的定义域为________.解析:∵y≤0x?32x?52x?55757≤0或≥4.∴≤x<3或3 探究二：求函数的解析式 例2． （1）.（15年新课标2文科）已知函数f?x??ax?2x的图像过点（-1,4）,则a= ． 3【答案】-2 【解析】 试题分析：由f?x??ax?2x可得f??1???a?2?4?a??2 . 3考点：函数解析式 （2）.已知f(?1)?lgx，求f(x)； （3）.已知是定义在实数R上的奇函数，当，,的解析式。 解：（1）令 2x2222?1?t（t?1） (x?1)．，则x?，∴f(t)?lg，∴f(x)?lg xt?1t?1x?1注：第（1）用换元法；（2）充分利用函数的奇偶性 三、方法提升 1、判断是否为函数“一看是否为映射，二看A，B是否为非空的数集” 2、函数是中学最重要的概念之一，学习函数的概念首先要掌握函数的三要素基本内容与方法，由给定的函数的解析式求其定义域是这类问题的代表，实际上是求使函数有意义的x有取值范围； 3.求函数定义域一般有三类问题： （1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域； （2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义 4.求函数解析式： （1）待定系数法； （2）换元法、配凑法； （3）函数法； 四、 反思感悟 五、课时作业 函数的概念及表示 【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟. 一、选择题 1. 【15年福建文科改编】已知函数f?x??103sin则函数的解析式为：【A】 A. +5 B.+5 C.+5 D.+4 2. 函数y=x?2x?3的定义域为（ ） A.（-∞,-1）∪(3,+∞) B. [-1,3] C.(-1,3] D. (-∞,-1]∪［3,+∞) 答案：D 解析：由 ，得(-∞,-1]∪［3,+∞)，所以选D. 2xxxcos?10cos2． 22211?x2 3.g(x)=1-2x,f［g(x)］=(x≠0),则f()等于（ ） 2x2 A.1 B.3 C.15 D.30 答案：C 11?()21114=15. 解析：令g(x)=,则x=,∴f()= 1242()244.今年有一组实验数据如下： t S 1.998 1.501 3.002 2.100 4.001 3.002 7.995 4.503 把上表反映的数据关系，用一个函数来近似地表达出，其中数据最接近的一个是（ ） A.S=1+2 t-3 B.S= 312 log2t C.S=(t-1) D.S=-2t+5.5 22答案：B 解析：分别取近似数对（2，1.5）,(3,2),(4,3),(8,4.5)代入验证即可选B. 5.已知函数y=f(x)的图象如下图,那么f(x)等于（ ） A.x?2x?1 B.x2?2|x|?1 C.|x-1| D.x-2|x|+1 2 2 2答案：B 解析：C、D表示二次函数故首先排除.又∵f(-1)=0,故排除A，故选B. 二、填空题 6.函数f(x)=x?1?1的定义域为_______________. 2?x答案：［-1，2）∪（2，+∞） 解析：∵??x?1?0,∴x≥-1且x≠2. ?2?x?0.?x?3,(x?10)，则f(5)＝ ． f(f(x?5)),(x?10)?7. 设函数f(x)??8. 函数y?3?log3x的定义域为 ． 9. 函数y?x?1的值域是 ． x10. 已知函数f(2x?1)?3x?2，且f(a)?4，则a?________________. 三、解答题 11.已知函数f(x+a)=|x-2|-|x+2|,且f［f(a)］=3,求a的值. 解析：令x=0，f(a)=|-2|-|2|=0.∴f［f(a)］=f(0)=|-a-2|-|-a+2|=3.∴|a+2|-|a-2|=3. 当a>2时，有a+2-(a-2)=3无解；当-2≤a≤2时，有a+2+(a-2)=3?a=有-(a+2)+(a-2)=3无解. ∴a= 3；当a≤-2时，23. 2x?7的定义域为R,求a的取值范围. ax2?4ax?3312.已知函数f(x)= 解析：当a=0时，函数定义域为R. 22 当a≠0时，要使ax+4ax+3≠0对一切x∈R恒成立，其充要条件是Δ<0,即16a-12a<0,∴0 33.因此a的取值范围为［0，）. 4413.如下图，用长为l的木条围成上部分是半圆下部分是矩形的窗框，中间有2根横档，要使透光效果最好，应如何设计? 解析：设半圆的半径为x,则窗户的面积y= 1l?6x??x?2 ??(6?)x2+l x, πx+2x· 222?x?0,由???l?6x??xl?2l?2?0,解得0 当x= l12??时y有最大值.这时半圆的直径为2l3l12??,大矩形的另一边长为12??. 14.已知函数f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t)(t为参数). （1）写出函数f(x)的定义域和值域； （2）当x∈［0，1］时，求函数g(x)解析式中参数t的取值范围; （3）当x∈［0，1］时，如果f(x)≤g(x),求参数t的取值范围. 解析：（1）函数f(x)的定义域为（-1，+∞），值域为R. （2）∵2x+t>0,x∈［0，1］,∴t>0. （3）当0≤x≤1时， f(x)≤g(x)???2x?t?0,x?1?2x?t,?t≥x?1-2x(0≤x≤1)t≥(x?1-2x)max. ?设 U= x?1?2x,m= x?1,则1≤m≤ 2,x=m2 -1, U=m-2(m2 -1)=-2m2 +m+2=-2(m-14)2+18+2.∴当m=1(x=0)时，Umax=1.∴t≥1. 附加题：[实验班] 1．已知f(x2)的定义域为[?1,1]，则f(2x)的定义域为(??,0]． 2．函数y=ln(1-x)的定义域为[D] A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 3、已知函数f?x?的定义域为??1,0?,则函数f?2x?1?的定义域为(B) (A)??1,1? (B)???1,1???1?2? (C)?-1,0? (D)??2,1??? 4.函数f(x)?1(log22x)?1的定义域为（ C ） ∴ A. (0,) B. (2,??) C. (0,)?(2,??) D. (0,]?[2,??) 121212
高三数学第一轮复习 函数的概念及表示教案 文
