sin B2； (2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长． sin C2(1)求11[解] (1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.
22
sin BAC1
因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.由正弦定理可得＝＝.
sin CAB2
(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝2.
在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB， AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6， 例5已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，acsin A＋4sin C＝4csin A.
(1)求a的值； (2)圆O为△ABC的外接圆(O在△ABC内部)，△OBC的面积为c＝4，判断△ABC的形状，并说明理由．
ac
解析：(1)由正弦定理可知，sin A＝，sin C＝，则acsin A＋4sin C＝4csin Aa2c＋4c＝4ac，
2R2R因为c≠0，所以a2c＋4c＝4aca2＋4＝4a
(a－2)2＝0，可得a＝2.
1
(2)设BC的中点为D，则OD⊥BC，所以S△OBC＝BC·OD.
2
1BC
33BD21
又因为S△OBC＝，BC＝2，所以OD＝， 在Rt△BOD中，tan ∠BOD＝＝＝＝3.
33ODOD33又0°＜∠BOD＜180°，所以∠BOD＝60°，所以∠BOC＝2∠BOD＝120°， 1
因为O在△ABC内部，所以∠A＝∠BOC＝60°，
2
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A.所以4＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，又b＋c＝4， 所以bc＝4，所以b＝c＝2，所以△ABC为等边三角形．
3
，b＋3
3π
1、在△ABC中，∠BAC＝，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．
4
[解] 设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC
bsin∠BAC3π
＝(32)2＋62－2×32×6×cos＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝310.又由正弦定理得sin B＝4a
310π1310＝＝，由题设知0＜B＜，所以cos B＝1－sin 2B＝1－＝.在△ABD中，因为AD＝BD，
4101031010
AB·sin B6sin B3
所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得AD＝＝＝＝10.
sin?π－2B?2sin Bcos Bcos B
2、在△ABC中，cos C是方程2x2－3x－2＝0的一个根．
(1)求角C； (2)当a＋b＝10时，求△ABC周长的最小值． 1
[解] (1)因为2x2－3x－2＝0，所以x1＝2，x2＝－.
2
12π
又因为cos C是方程2x2－3x－2＝0的一个根，所以cos C＝－，所以C＝.
23
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?－1?＝(a＋b)2－ab，则c2＝100－a(10－a)＝(a－5)2＋75， (2)由余弦定理可得：c2＝a2＋b2－2ab·?2?当a＝5时，c最小且c＝75＝53，此时a＋b＋c＝10＋53，
所以△ABC周长的最小值为10＋53.
3π
3、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝，且sin(A＋C)＝2sin Acos(A＋B)．
4
(1)求证：a，b,2a成等比数列； (2)若△ABC的面积是1，求c的长．
解：(1)证明：∵A＋B＋C＝π，sin(A＋C)＝2sin Acos(A＋B)，∴sin B＝－2sin Acos C.
3π
在△ABC中，由正弦定理得，b＝－2acos C，∵C＝，∴b＝2a，则b2＝a·2a，∴a，b,2a成等比数列．
4
12
(2)S△ABC＝absin C＝ab＝1，则ab＝22，由(1)知，b＝2a，联立两式解得a＝2，b＝2，
24
2
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝2＋4－42×?－?＝10，∴c＝10. ?2?4、在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且3acos C＝(2b－3c)cos A.
(1)求角A的大小； (2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由正弦定理可得，3sin Acos C＝2sin Bcos A－3sin Ccos A， 从而可得 3sin(A＋C)＝2sin Bcos A，即3sin B＝2sin Bcos A.
3π
又B为三角形的内角，所以sin B≠0，于是cos A＝，又A为三角形的内角，所以A＝. 26
3
(2)由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A得4＝b2＋c2－2bc·≥2bc－3bc，所以bc≤4(2＋3)．
2
1
所以S＝bcsin A≤2＋3.故当a＝2时，△ABC面积的最大值为2＋3.
2
5、已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B－cos2C－sin2A＝sin Asin B.
(1)求角C； (2)若c＝26，△ABC的中线CD＝2，求△ABC的面积S的值． 解：(1)由已知得sin2A＋sin2B－sin2C＝－sin Asin B，由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab， a2＋b2－c212π
由余弦定理可得cos C＝＝－.∵0 (2)延长CD到M，使CD＝DM，连接AM，易证△BCD≌△AMD，∴BC＝AM＝a，∠CBD＝∠MAD， 22??a＋b＋ab＝24，π113∴∠CAM＝.由余弦定理得?22∴ab＝4，S＝absin∠ACB＝×4×＝3. 3222?a＋b－ab＝16，? 2c－bcos B 6、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝. acos A (1)求角A的大小； (2)若D为BC边上一点，且CD＝2DB，b＝3，AD＝21，求a. 解析：(1)由已知得(2c－b)cos A＝acos B，由正弦定理，得(2sin C－sin B)cos A＝sin Acos B， 整理，得2sin Ccos A－sin Bcos A＝sin Acos B，即2sin Ccos A＝sin(A＋B)＝sin C. 第 17 页（共 18 页） 1π 又sin C≠0，所以cos A＝，所以A＝.(2)如图，过点D作DE∥AC交AB于E，又CD＝2DB， 23π12π ∠BAC＝，所以ED＝AC＝1，∠DEA＝. 333 2π 由余弦定理可知，AD2＝AE2＋ED2－2AE·EDcos，得AE＝4，则AB＝6. 3π 又AC＝3，∠BAC＝，所以在△ABC中，由余弦定理得a＝BC＝33. 37、已知函数f(x)?msinx?2cosx(m?0)的最大值为2. (1)求函数f(x)在[0,?]上的单调递减区间; （2)△ABC中,f(A?求△ABC的面积. ?)?f(B?)?46sinAsinB,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且C=60?,c=3,44? 第 18 页（共 18 页）
2020年高考复习数学解三角形
