2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word版
一、给定锐角三角形PBC，PB?PC．设A，D分不是边PB，PC上的点，连接AC，BD，相交于点O. 过点O分不作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分不为E，F，线段BC，AD的中点分不为M，N．
〔1〕假设A，B，C，D四点共圆，求证：EM?FN?EN?FM；
〔2〕假设 EM?FN?EN?FM，是否一定有A，B，C，D四点共圆？证明你的结论．
解〔1〕设Q，R分不是OB，OC的中点，EQ，MQ，FR，MR，那么
P连接
11EQ?OB?RM,MQ?OC?RF，
22又OQMR是平行四边形，因此
?OQM??ORM，
AEQNORDF由题设A，B，C，D四点共圆，因此
B?ABD??ACD，
MC因此 图1 ?EQO?2?ABD?2?ACD??FRO，
因此 ?EQM??EQO??OQM??FRO??ORM??FRM， 故 ?EQM??MRF， 因此 EM＝FM， 同理可得 EN＝FN， 因此 EM?FN?EN?FM．
〔2〕答案是否定的．
当AD∥BC时，由于?B??C，因此A，B，C，D四点不共圆，但现在仍旧有
EM?FN?EN?FM，证明如下：
如图2所示，设S，Q分不是OA，OB的中点，连接ES，EQ，MQ，NS，那么
11NS?OD,EQ?OB，
22因此
NSOD?． ① EQOB11又ES?OA,MQ?OC，因此
22ESOA?． ② MQOC而AD∥BC，因此
OAOD， ③ ?OCOB由①，②，③得
NSES?． EQMQ因为 ?NSE??NSA??ASE??AOD?2?AOE，
?EQM??MQO??OQE???AOE??EOB??(180??2?EOB) ??AOE?(180???EOB)??AOD?2?AOE，
即 ?NSE??EQM， 因此 ?NSE～?EQM， 故
ENSEOA??〔由②〕． EMQMOCPFNOA同理可得， ， ?FMOCENFN因此 ， ?EMFM从而 EM?FN?EN?FM．
BAEQNSDFROMC二、求所有的素数对〔p，q〕，使得pq5p?5q．
解：假设2|pq，不妨设p?2，那么2q|52?5q，故q|5q?25．
由Fermat小定理， q|5q?5，得q|30，即q?2,3,5．易验证素数对(2,2)不合要求，(2,3)，(2,5)合乎要求．
假设pq为奇数且5|pq，不妨设p?5，那么5q|55?5q，故q|5q?1?625． 当q?5时素数对(5,5)合乎要求，当q?5时，由Fermat小定理有q|5q?1?1，故
q|626．由于q为奇素数，而626的奇素因子只有313，因此q?313．经检验素数对(5,313)合乎要求．
假设p,q都不等于2和5，那么有pq|5p?1?5q?1，故
5p?1?5q?1?0(modp)． ①
由Fermat小定理，得 5p?1?1(modp) ， ② 故由①，②得
5q?1??1(modp)． ③
设p?1?2k(2r?1)，q?1?2l(2s?1)， 其中k,l,r,s为正整数． 假设k?l，那么由②，③易知
1?12l?k(2s?1)?(5p?1)2l?k(2s?1)?52(2r?1)(2s?1)?(5q?1)2r?1?(?1)2r?1??1(modp)，
l这与p?2矛盾！因此k?l．
同理有k?l，矛盾！即现在不存在合乎要求的(p,q)． 综上所述，所有满足题目要求的素数对(p,q)为
(2,3)，(3,2)，(2,5)，(5,2)，(5,5)，(5,313)及(313,5)．
三、设m，n是给定的整数，4?m?n，A1A2?A2n?1是一个正2n+1边形，
P??A1,A2,?,A2n?1?．求顶点属于P且恰有两个内角是锐角的凸m边形的个数．
解 先证一个引理：顶点在P中的凸m边形至多有两个锐角，且有两个锐角时，这两个锐角必相邻．
事实上，设那个凸m边形为P1P2?Pm，只考虑至少有一个锐角的情形，现在不妨设?PmP1P2??2，那么
?P2PjPm????P2P1Pm?更有?Pj?1PjPj?1??2(3?j?m?1)，
?2(3?j?m?1)．
而?P1P2P3+?Pm?1PmP1??，故其中至多一个为锐角，这就证明了引理． 由引理知，假设凸m边形中恰有两个内角是锐角，那么它们对应的顶点相邻． 在凸m边形中，设顶点Ai与Aj为两个相邻顶点，且在这两个顶点处的内角均为锐角．设Ai与Aj的劣弧上包含了P的r条边〔1?r?n〕，如此的(i,j)在r固定时恰有
2n?1对．
〔1〕 假设凸m边形的其余m?2个顶点全在劣弧AiAj上，而AiAj劣弧上有r?1个
?2P中的点，现在那个m?2顶点的取法数为Crm?1．
〔2〕 假设凸m边形的其余m?2个顶点全在优弧AiAj上，取Ai，Aj的对径点Bi，
Bj，由于凸m边形在顶点Ai，Aj处的内角为锐角，因此，其余的m?2个顶点全在劣
弧BiBj上，而劣弧BiBj上恰有r个P中的点，现在那个m?2顶点的取法数为Crm?2．
因此，满足题设的凸m边形的个数为
(2n?1)?(Cr?1nm?2r?1?Cm?2r?nm?2nm?2?)?(2n?1)??Cr?1??Cr?r?1?r?1??1m?1m?1?(2n?1)(?(Crm?1?Crm))?1)??(Cr?1?Crr?1r?1nn
m?1m?1)． ?(2n?1)(Cn?1?Cn
四、给定整数n?3，实数a1,a2,?,an满足 minai?aj?1．求?ak的最小值．
1?i?j?nn3k?1解 不妨设a1?a2???an，那么对1?k?n，有
ak?an?k?1?an?k?1?ak?n?1?2k，
因此
?ak?1n3k1n??ak2k?1?3?an?1?k3?
?21n?3 ???ak?an?1?k???ak?an?1?k2k?1?41n ???ak?an?1?k8k?1n?1?ak?an?1?k4?2?? ??31n3??n?1?2k． 8k?1n?12i?1当n为奇数时，
?n?1?2k?2?23??i3?k?1n312(n?1)2． 4当n为偶数时，
?n?1?2kk?13?2?(2i?1)3
i?1n2n?n?2??33 ?2??j??(2i)?
i?1?j?1??? ?122n(n?2)． 43因此，当n为奇数时，?akk?1n3n122?(n?1)，ak当n为偶数时，?32k?1?122n(n?2)，32等号均在ai?i?nn?1,i?1,2,?,n时成立． 23因此，?ak的最小值为
k?1121，或者n2(n2?2)〔n为偶数〕． (n?1)2〔n为奇数〕
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