物理实验数据处理的基本方法

在直线上选两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，A、B两点一般不为实验点。为了减小误差，A、B两点应相隔远一些。如果两点太靠近，计算斜率时会使结果的有效数字减少；但也不能超出实验数据的范围以外，因为选这样的点无实验依据。用与表示实验点不同的符号将A、B两点在直线上标出，并在旁边标明其坐标值。

求斜率

将A、B两点的坐标值分别代入直线方程y?kx?b，可解得斜率

k?y2?y1x2?x1 （4—1）

求截距

如果横坐标的起点为零，则直线的截距可从图中直接读出；如果横坐标的起点不为零，则可用下式计算直线的截距：

b?x2y1?x1y2x2?x1 （4—2）

将求得的k、b的数值代入方程y?kx?b中，就得到经验公式。

下面介绍用图解法求2个物理量线性的关系，并用直角坐标纸作图验证欧姆定律。给定电阻为R=500Ω，所得数据见表1-2和图1-1。

表1-1验证欧姆定律数据表次序

次序 U/V I/mA

求直线斜率和截距而得出经验公式时， 两点。第一，计算点只能从直线上取，不能的数据。从图中不难看出，如用实验点a、b所得结果必然小于直线的斜率。第二，在直算点时，应尽量从直线两端取，不应选用两的点。图0-2中如选c、d两点，则因c、dｃ-Iｄ)及(Uｃ-Uｄ)的有效数字位数会比

图0-2 电流与电压关系

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 应注意以下选用实验点来计算斜率，线上选取计个靠得很近靠得很近，(I实测得的数

据少很多，这样会使斜率k的计算结果不精确。因此必须用直线两端的A、B两点来计算，以保证较多的有效位数和尽可能高的精确度。计算公式为

k?IA?IBUA?UB斜率

?19.94?2.12??mA?=?10.00?1.00??V?

17.82?mA?1? 1.98?10?3????9.00V ==

不难看出，将UA-UB取为整数值可使斜率的计算方便得多。

5逐差法

逐差法又称逐差计算法，是对等间隔测量的数据进行逐项或隔项相减来获得实验结果的数据处理方法。它计算简便，既可以验证函数的表达形式，又可以充分利用测量数据，及时发现错误、总结规律，起到减小随机误差的作用。

当两个变量之间存在线性关系，且自变量为等差级数变化的情况下，常采用逐差法处理一元线性拟合问题。逐差法不像作图法拟合直线那样具有较大的随意性，且比最小二乘法计算简单而结果相近，在物理实验中是常用的数据处理方法。

逐项逐差

逐项逐差可以验证线性函数。方法是：将对应于各个自变量

xi的函数值

yi逐项相减，如果相

应的各函数值逐项相减一次都得一常量，即说明y是x的函数。对线性函数的验证如下所述。

当y?ax?b时，测得

(xi,yi)，令

xi?x0?i?x，有

对以上各方程逐差一次，得

以上各式中的?x是自变量每次的增量，但由于x是等间隔变化的，所以b?x为一恒量。因此，当各函数值的一次逐差结果都是恒量时，则函数是线性函数。

隔项逐差

隔项逐差是物理实验中经常采用的数据处理方法之一，该方法一般用于等间隔线性变化的测量中。

根据误差处理，我们知道多次测量的算术平均值是测量的最佳值，为了减小随机误差，在实验

过程中测量次数应尽量多。但在等间隔线性变化测量中，如果仍用一般的求平均值的方法，结果将发现只有第一次和最后一次测量值有用，其中间值全部抵消了，这样就无法反映出多次测量能减小随机误差的优点。为保持多次测量的优点，应采用隔项逐差的方法。该方法是：将测得的数据按次序等分为前后两组，将后一组的第一项与前一组的第一项相减，后一组的第二项与前一组的第二项相减……，再利用各项减项的差值求出被测量的算术平均值。 一次逐差和二次逐差

对多项式实施一次逐差处理，即逐差一次，称为一次逐差。在对多项式进行一次逐差之后，再接着进行第二次逐差处理，即逐差二次，二次逐差要在一次逐差的基础上进行。一次逐差用于线性函数的验证与求值，二次逐差用于二次多项式的验证与求值。现仅对二次逐差作一简单介绍。

2(x,y)y?a?bx?cx当时，测得ii，则可以推到

其中

?yi?yi?1?yi为一次逐差结果，?x为自变量每次变化值（为恒定值），故若发现二次逐

差量为定值时，可说明y是x的二次多项式。 关于逐差法的说明

(1) 在验证函数表达式的形式时，要用逐项逐差，不用隔项逐差，这些可以检验每个数据点之间的变化是不是符合规律。

(2) 在求某一物理量的算术平均值时，要用隔项逐差，不用逐项逐差；否则只有首位两项数据起作用，中间数据会相互消去而白白浪费。

(3) 一次逐差用于线性函数，二次逐差用于二次多项式。

(4) 在工科物理教学实验中所用到的逐差法，大多为线性函数的求值问题，因此，对一次隔项逐差求算术平均值的方法，应当牢固掌握、熟练运用。

(5) 逐差法只适用于自变量x为等间隔变化而函数y为线性函数或多项式形式的函数。后者需用多次逐差，一般用来验证多项式形式的函数关系

逐差法的局限性

逐差法有其局限性，如非线性函数线性化以后，如果原来各个数据是等精度的，经过函

数变换以后可能成为非等精度的，此时用逐差法处理数据就是要考虑这个问题；其次，用逐差法求多项式的系数时，是先得求出最高次项系数，再逐步推其低次项系数，而高次项系数是经n次逐差而得到的，在某些情况下可以较准确，而在许多情况下往往是不太准确的。由于误差的传递，低次项系数的精确度就更差了。因此，逐差法处理数据除一次项逐差法外，较少求低次项系数。

但是，由于逐差法只是需要用简单的代数运算就可以进行计算，其处理方法的物理内涵明确，

方法简单易懂。因此，作为基本的实验数据处理方法的训练内容，在基础物理实验中还是一种良好的处理方法。

在拉伸法测量钢丝的杨氏弹性模量实验中，已知望远镜中标尺读数x和加砝码质量m之间满足线性关系m=kx，式中k为比例常数，现要求计算k的数值，见表1-2

表1-2 次序 m/kg x/cm 如果用逐项相减，然后再计算每增加 砝码标尺读数变化的平均值?xi ，即

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ?xi=

??xi?1nin

?x2?x1???x3?x2?????x10?x9?=

9

?x10?x1?=

921.47?15.959==(cm)

于是比例系数

?xi?2k=?m=(cm/kg)=×10(m/kg)

这样中间测量值

x9 ，

x8 ，…，x2 全部未用，仅用到了始末2次测量值

x10x10 和x1，它与一次

xxx，9 ，8 ，7 ，

增加9个砝码的单次测量等价。若改用多项间隔逐差，即将上述数据分成后组(

x6 )和前组(

x5 ，

x4 ，

x3 ，x2 ，x1 )，然后对应项相减求平均值，即

?x5==

15?x10?x5???x9?x4???x8?x3???x7?x2???x6?x1?515

［（＋＋＋＋）=(cm)

于是，

?x53.06?2k=5m=5?0.500=(cm/kg)=×10(m/kg)

?x5是每增加5个砝码，标尺读数变化的平均值。这样全部数据都用上，相当于重复测量了5

次。应该说，这个计算结果比前面的计算结果要准确些，它保持了多次测量的优点，减少了测量误差。

5最小二乘法(线性回归)

由一组实验数据拟合出一条最佳直线，常用的方法是最小二乘法。设物理量y和x之间的满足线性关系，则函数形式为

最小二乘法就是要用实验数据来确定方程中的待定常数a和b，即直线的斜率和截距。 我们讨论最简单的情况，即每个测量值都 且假定x和y值中只有y有明显的测量随机误均有误差，只要把误差相对较小的变量作为x+ 是等精度的，差。如果x和y

+ + 即可。由实验

x?xi时对应的

(x,y;i?1,2,?n)ii测量得到一组数据为，其中

y?yi。由于测量总是有误差的，我们将这些

+ 误差归结为yi5-1。这样，将

的测量偏差，并记为?1，?2，…，?n，见图实验数据(xi,yi)代入方程y?a?bx后，得到

我们要利用上述的方程组来确定a和b，

+

+

图5-1

yi的测量偏差

那么a和b要

满足什么要求呢显然，比较合理的a和b是使?1，?2，…，?n数值上都比较小。但是，每次测量的误差不会相同，反映在?1，?2，…，?n大小不一，而且符号也不尽相同。所以只能要求总的偏差最小，即

S?令 使S为最小的条件是

????(y2ii?1i?1nni?a?bxi)2

?S?S?2S?2S?0?0?0?022?a，?b，?a，?b

由一阶微商为零得

a?i?1?xi?(xiyi)??xi?yii?1i?1i?1nn???xi2?i?1xi??ni??1??2nnn2n解得 (3)