①求圆心在直线BC上，且与直线DE、AB都相切的⊙O的半径长； ②圆心在直线BC上，且与直线DE及矩形ABCD的某一边所在直线都相切的圆共有多少个？（直接写出满足条件的圆的个数即可.）
14、解：（1）在Rt?AED中，?AE?6,AD?8,?ED?10.
??PHD??EAD?90?,?PDH??EDA,??PHD??EAD.xDHPH43??.?DH?x,PH?x.1086556?y?S?AED?S?PHD?24?x2.25?
（2）①
…………………………………………………………5分
?AD//BC,??EBF∽?EAD.
?EF3BF??. 1068?EF?5,BF?4.………………………7分
若⊙O1与直线DE、AB都相切，且圆心O1在AB的左侧，过点O1作O1G1?DF于G1，则可设O1G1?O1B?r1.
1113?S?EO1F?S?EBO1?S?EBF,?r1?5?r1?3??3?4. 解得r1?.…………………10分
2222若⊙O2与直线DE、AB都相切，且圆心O2在AB的右侧，过点O2作O2G2?DF于G2，则可设O2G2?O2B?r2.
11?FO2?DC??DF?O2G2.22
11?(4?r2（)6?3）?（10?5）r2.22?S?FO2D?解得r2?6.
即满足条件的圆的半径为
②6个.………………………………………………………………………………………16分
3或6.…………………………………………13分 215. 如图1，等腰梯形OABC的底边OC在x轴上，AB∥OC，O为坐标原点，OA = AB =BC，∠AOC=60°，连接OB，点P为线段OB上一个动点，点E为边OC中点.
（1）连接PA、PE，求证：PA=PE；
（2）连接PC，若PC+PE=23，试求AB的最大值；
（3）在（2）在条件下，当AB取最大值时，如图2，点M坐标为（0，－1），点D为线段OC上一个动点，当D点从O点向C点移动时，直线MD与梯形另一边交点为N，设D点横坐标为m，当△MNC为钝角三角形时，求m的范围.
解：（1）证明：如图1，连接AE.
yAPOE图1yABBCxOMD图2Cx
?OA?AB,??AOB??ABO.?AB//OC,??ABO??BOC.??AOC?60?,??AOB??BOC?30?.??OBC?90?.?E为OC的中点，?OC?2BC?2OA.?OAE为等边三角形.?OB垂直平分线段AE.?PA?PE.…………………………………………………………5分
(2)∵PC+PE=23，∴PC+PA=23.
显然有OB=AC≤PC+PA=23.……………7分
在Rt△BOC中,设AB=OA=BC=x，则OC=2x，OB=3x， ∴3x≤23，∴x≤2.
即AB的最大值为2. …………………………10分 (3) 当AB取最大值时，AB=OA=BC=2，OC=4. 分三种情况讨论：
①当N点在OA上时，如图2，若CN⊥MN时，此时线段OA上N点下方的点（不包括N、O）均满足△MNC为钝角三角形. 过N作NF⊥x轴，垂足为F， ∵A点坐标为（1，3），∴ 可设N点坐标为（a，3a），则DF=a－m，NF=3a，
ma?m3a?FC=4－a. ∵△OMD∽△FND∽△FCN，?OD?DF?NF. ∴?.
14?aOMNFFC3a解得，m?4?343?1，即当0 4?343?1时，△MNC为钝角三角形；…14分 ②当N点在AB上时，不能满足△MNC为钝角三角形；………………15分 ③当N点在BC上时，如图3，若CN⊥MN时，此时BC上N点下方的点（不包括N、C）均满足△MNC为钝角三角形. ?OB?BC,CN?MN,?MN//OB.??ODM??BOC?30?.?OM?1,?OD?m?3.∴当3 4?343?1或3
2014年河南省初中数学竞赛预赛试题及答案
