2014年全国初中数学竞赛预赛
试题及参考答案
（竞赛时间：2014年3月2日上午9:00--11:00）
一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分） 以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．若a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，则a2013?2014b?c2015的值为【 】
（A）2013 （B）2014 （C）2015 （D）0 【答】D．
解：最大的负整数是－1，∴a=－1； 绝对值最小的有理数是0，∴b=0； 倒数等于它本身的自然数是1，∴c=1.
2013∴a2013?2014b?c2015=（?1）?2014?0?12015=0.
?x?y?z?5，2. 已知实数x,y,z满足?则代数式4x?4z?1的值是【 】
?4x?y?2z?2.（A）?3 （B）3 （C） ?7 （D）7 【答】A．
解：两式相减得3x-3z?-3，则4x?4z?1??3.
3．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2所示摆放，那么，图1 中的线段MN在图2中的对应线段是【 】
（A）a （B）b （C）c （D）d
daMN图1图2bc
（第3题图）
【答】C．
解：将图1中的平面图折成正方体，MN和线段c重合.不妨设图1中完整的正方形为完整面，△AMN和△ABM所在的面为组A合面，则△AMN和△ABM所在的面为两个相邻的组合面，比较图
BAadMcbNBMN图1图2
2，首先确定B点，所以线段d与AM重合，MN与线段c重合.
4. 已知二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示，则下列7个代数式ab，ac，bc，
b2?4ac，a?b?c，a?b?c，2a?b中，其值为正的式子的个数为【 】
（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）4个以上
yyO1xABOx（第5题图） -1（第4题图）
【答】C．
解：由图象可得：a?0，b?0，c?0，∴ab?0，ac?0，bc?0. 抛物线与x轴有两个交点，∴b2?4ac?0.当x=1时，y?0，即a?b?c?0.
当x=?1时，y?0，即a?b?c?0.从图象可得，抛物线对称轴在直线x=1的左边，即
b?1，∴2a?b?0.因此7个代数式中，其值为正的式子的个数为4个. 2a5. 如图，Rt△OAB的顶点O与坐标原点重合，∠AOB=90°，AO=2BO，当A点在
1反比例函数y? （x>0）的图象上移动时，B点坐标满足的函数解析式为【 】
x
11 （A）y?? （x<0） （B）y??（x<0）
8x4x11（C）y?? （x<0） （D）y??（x<0）
2xx
【答】B． ?解：如图，分别过点A,B分别做y轴的垂线AN,BM，那么?ANO∽?OMB，则
S?ANOOA2?()?4.S?OMBOB?S?ANO?
111ON?AN?,?S?OMB?.228
?OM?BM?11，故y??. 44x
6．如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC=DB=1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为【 】
（A）1 （B）2 （C）3 （D）6
【答】B．
解：设KH中点为S，连接PE、ES、SF、PF、PS，可证明四边形PESF为平行四边形，
∴G为PS的中点, 即在点P运动过程中，G始终为PS的中点，所以G的运行轨迹为△CSD的中位线,
∵CD=AB－AC－BD=6－1－1=4，∴点G移动的1路径长为?4=2.
2
AMCPDBENGRHQKSF二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分） 7．已知?23?x?2，化简2x?3?(x?9)得 . 2【答】3x-6． 解：∵?3?x?2，∴2x?3?0，x?9?0， 2 原式=2x?3?x?9?3x?6.
8. 一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为
2，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为 . 5
【答】
6． 25解：设口袋中蓝色玻璃球有x个，依题意，得出一个红色玻璃球）=
66. ?6?9?1025x2?，即x=10，所以P（摸
6?9?x5x2?x?119. 若?4，则x2?2?1?= .
xx【答】8．
x2?x?11?4，∴x??3. 解：∵
xx1112则(x?)2?9，即x2?2?7.∴x?2?1?8.
xxx
10．如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，将Rt△OAB绕O点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，则AB扫过的面积为 . CD B AO （第10题图）
【答】?．
解：∵Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，
∴AO=CO=23，BO=DO=4，
∴阴影部分面积=S扇形OBD?S△AOB?S扇形OAC?S△COD=S扇形OBD?S扇形OAC
90???4290???(23)2? ==?.
36036011．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AD上一个动点，把△BAE沿
BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上时，CA1= .
EDA【答】22?1． 解：过A1作A1M⊥BC，垂足为M，设CM=A1M=x，
则BM=4－x，
在Rt△A1BM中，
A1BC（第11题图）
A1M2?A1B2?BM2?9?(4?x)2，
∴9?(4?x)2=x2，∴x =A1M=2?2， 2∴在等腰Rt△A1CM中，C A1=22?1.
12．已知a、b、c、d是四个不同的整数，且满足a+b+c+d =5，若m是关于x的方程（x－a）（x－b）（x－c）（x－d）=2014中大于a、b、c、d的一个整数根，则m的值为 . 【答】20．
解：∵（m－a）（m－b）（m－c）（m－d）=2014，且a、b、c、d是四个不同的整数，由于m是大于a、b、c、d的一个整数根，∴（m－a）、（m－b）、（m－c）、（m－d）是四个不同的正整数. ∵2014=1×2×19×53，
∴（m－a）+（m－b）+（m－c）+（m－d）=1+2+19+53=75. 又∵a+b+c+d =5，∴m =20.
三、解答题（第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分）
13.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？
解：设购买小笔记本x本，大笔记本y本，钢笔z支，
则有5x?7y?10z?346，y?2z.
易知0＜x≤69，0＜y≤49，0＜z≤34, ……………………………………4分
346?24z∴5x?14z?10z?346，5x?24z?346，即x?.
5∵x，y，z均为正整数，346?24z≥0，即0＜z≤14
∴z只能取14，9和4. …………………………………………………8分
346?24z①当z为14时， x?=2，y?2z=28. x?y?z?44.
5346?24z②当z为9时， x?=26，y?2z=18. x?y?z?53.
5346?24z③当z为4时， x?=50，y?2z=8. x?y?z?62.
5综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本50本，大笔记本8本，钢笔4支. ……………………………………………………………………14分
14.如图，在矩形ABCD中，AD=8，直线DE交直线AB于点E，交直线BC于F，AE=6.
（1）若点P是边AD上的一个动点（不与点A、D重合），PH?DE于H,设DP为x,四边形AEHP的面积为y,试求y与x的函数解析式； （2）若AE=2EB.
2014年河南省初中数学竞赛预赛试题及答案
