x?(a?1,2)时f'(x)?0，f(x)单调递增．
综上，无论a为何值，当x?[1,2]时，f(x)最大值都为f(1)或f(2)．
f(1)?(1?a)e，f(2)?(2?a)e2，
f(1)?f(2)?(1?a)e?(2?a)e2?(e2?e)a?(2e2?e).
2e2?e2e?1?所以当a?2时，f(1)?f(2)?0，f(x)max?f(1)?(1?a)e.
e?ee?12e2?e2e?12?当a?2时，f(1)?f(2)?0，f(x)max?f(2)?(2?a)e．…………10分
e?ee?1（Ⅲ）令h(x)?f(x)?x，所以h'(x)?xe?1. 所以h''(x)?(x?1)e.
令h''(x)?(x?1)e=0，解得x??1，
所以当x?[?5,?1)，h''(x)?0，h'(x)单调递减； 当x?[?1,??)，h''(x)?0，h'(x)单调递增. 所以当x??1时，h'(x)min?h'(?1)?1?所以函数h(x)在[?5,??)单调递增.
6所以h(x)?h(?5)??5?5.
e所以?x?[?5,??)，f(x)?x?5??5.
解：（Ⅰ） 对f(x)求导数，得f?(x)?ex?x， [ 1分]
所以切线l的斜率为f?(x0)?ex0?x0， [ 2分] 12由此得切线l的方程为：y?(ex0?x0)?(ex0?x0)(x?x0)，
212即 y?(ex0?x0)x?(1?x0)ex0?x0. [ 3分]
212（Ⅱ） 由（Ⅰ）得，直线l在y轴上的截距为(1?x0)ex0?x0． [ 4分]
2xxx1?0. e6恒成立． ……………………13分 e5设 g(x)?(1?x)ex?x2，x?[?1,1]．
所以 g?(x)?x(1?ex)，令g?(x)?0，得x?0． g(x)，g?(x)的变化情况如下表：
12x (?1,0)(0,1)?1 0 ? 1 g?(x) g(x)0 ? 21?e2 ↘ 1 ↘ 1 2所以函数g(x)在[?1,1]上单调递减， [ 6分]
211?，[g(x)]min?g(1)?， e22121所以直线l在y轴上的截距的取值范围是[,?]． [ 8分]
2e2所以[g(x)]max?g(?1)?（Ⅲ）过M作x轴的垂线，与射线y?x?1交于点Q，
所以△MNQ是等腰直角三角形． [ 9分] 所以 |MN|?|MQ|?|f(x)?g(x)|?|ex?x2?x?1|． [10分] 设 h(x)?ex?x2?x?1，x?[0,??)， 所以 h?(x)?ex?x?1．
令 k(x)?ex?x?1，则k?(x)?ex?1?0(x?0)， 所以 k(x)?h?(x)在[0,??)上单调递增， 所以 h?(x)≥h?(0)?0，
从而 h(x)在[0,??)上单调递增， [12分] 所以 [h(x)]min?h(0)?2，此时M(0,1)，N(2,1)．
所以 |MN|的最小值为2，此时a?1． [13分] 6.
解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域是D?{x|x?0，且x?2}，且f?(x)??当a?1时，曲线y?f(x)存在斜率为0的切线．证明如下：[ 3分]
1212a1?．[ 2分]
(x?2)2x曲线y?f(x)存在斜率为0的切线?方程f?(x)?0存在D上的解． 令?11??0，整理得x2?5x?4?0， 2(x?2)x解得x?1，或x?4．
所以当a?1时，曲线y?f(x)存在斜率为0的切线．[ 5分] 注：本题答案不唯一，只要a?0均符合要求． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 f?(x)??a1?．
(x?2)2x①当a≤0时，f?(x)?0恒成立，
函数f(x)在区间(0,2)和(2,??)上单调递增，无极值，不合题意．[ 6分] ②当a?0时，令f?(x)?0，整理得x2?(a?4)x?4?0． 由??[?(a?4)]2?16?0，
所以，上述方程必有两个不相等的实数解x1，x2，不妨设x1?x2．
?x1?x2?a?4?4,由?得0?x1?2?x2．[ 8分]
xx?4,?12f?(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f?(x)(0,x1) x1 (x1,2)(2,x2) ? ? x2 (x2,??) ? f(x)0 极0 极? ↗ 大值 ↘ ↘ 小值 ↗ 所以，f(x)存在极大值f(x1)，极小值f(x2)．[10分] f(x2)?f(x1)?(aaaa?lnx2)?(?lnx1)?(?)?(lnx2?lnx1)． x2?2x1?2x2?2x1?2[11分]
因为0?x1?2?x2，且a?0，
所以
aa??0，lnx2?lnx1?0， x2?2x1?2所以 f(x2)?f(x1)．
所以f(x)的极小值大于极大值．[13分] 7.
解：
(Ⅰ) 易得，f?(x)?3x?3a，所以f?(1)?3?3a， 依题意，(3?3a)(?)??1，解得a?（Ⅱ）因为F(x)??x[g(x)?2121； …………………………3分 3111??x?2]??x?(1?lnx)?x?2??xlnx?x2?x，
222?? 则F?(x)?lnx?1?x?1?lnx?x?2.设t(x)?lnx?x?2， 则t?(x)?11?x. ?1?xx令t?(x)?0，得x?1.
则由t?(x)?0，得0?x?1，F?(x)为增函数； 由t?(x)?0，得x?1，F?(x)为减函数； 而F?(111)??2??2???0，F?(1)?1?0. 222eee则F?(x)在(0,1)上有且只有一个零点x1， 且在(0,x1)上F?(x)?0，F(x)为减函数； 在(x1,1)上F?(x)?0，F(x)为为增函数. 所以x1为极值点，此时m?0.
又F?(3)?ln3?1?0，F?(4)?2ln2?2?0， 则F?(x)在(3,4)上有且只有一个零点x2， 且在(3,x2)上F?(x)?0，F(x)为增函数； 在(x2,4)上F?(x)?0，F(x)为减函数.
所以x2为极值点，此时m?3.
综上m?0或m?3. ……………………9分 （Ⅲ）（1）当x?(0,e)时，g(x)?0，依题意，h(x)?g(x)?0，不满足条件； （2）当x?e时，g(e)?0，f(e)?e?3ae?e，
3e2?1①若f(e)?e?3ae?e?0，即a?，则e是h(x)的一个零点；
33e2?1②若f(e)?e?3ae?e?0，即a?，则e不是h(x)的零点；
33 （3）当x?(e,??)时，g(x)?0，所以此时只需考虑函数f(x)在(e,??)上零点的情况.因为f?(x)?3x?3a?3e?3a，所以 ①当a?e2时，f?(x)?0，f(x)在(e,??)上单调递增. 又f(e)?e?3ae?e，所以
322e2?1（i）当a?时，f(e)?0，f(x)在(e,??)上无零点；
3e2?1?a?e2时，f(e)?0， （ii）当3又f(2e)?8e?6ae?e?8e?6e?e?0， 所以此时f(x)在(e,??)上恰有一个零点； ②当a?e2时，令f?(x)?0，得x??a. 由f?(x)?0，得e?x?由f?(x)?0，得x?333a；
a；
所以f(x)在(e,a)上单调递减，在(a,??)上单调递增. 因为f(e)?e?3ae?e?e?3e?e?0，
333f(2a)?8a3?6a2?e?8a2?6a2?e?2a2?e?0,
所以此时f(x)在(e,??)上恰有一个零点；
2017至2018年北京高三模拟分类汇编之导数大题
