用洛必达法则求未定式极限的方法
一、洛必达法则求函数极限的条件及适用范围
(一) 洛必达法则定理
定理1⑴ 若函数/(X)与函数g(x)满足下列条件： (1)在。的某去心邻域讥兀)内可导,且g?)HO (2) lim /(x) = 0 XTG+0 lim g(x) = 0
XTO+0 (3) lim ------ ------ = A
兀T\g\\x)
v f\\x) A
则lim /⑴二lim f XT\
g'(x)
= A (包括A为无穷大的情形)
(1) 在d的某去心邻域Mr)内可导，且g3 H 0
(2) lim /(x) = oo
X->X()
lim p(x) = oo
广(x)人 lim = 则lim = lim 以卫= (3) A
5+o 0(x) 5+() g(x) 5+0 g\\x)
r
定理2若函数/(兀)和g(x)满足下列条件
+ 一
, X -> Xo ，兀 TOO,兀一>+00,X—>—00。
定理证明：作辅助函数
F(兀)=
A (包括A为无穷人的怙:形)
0, 当兀=a
此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适用：
G(x) =
0, 当兀=a
于是函数F(x)及G(x)在［d,d +》)连续，在(d,G + /)可导，并且G (%)丰0?今对(G,G + /) 内任意一点x,利用柯西中值定理得
空n(叽空丄
G(x) G(x)-G(G) G\\XQ)
由F(Q及G(劝的定义，上式B|jZW=ZW g(x) gUo)
所以当XTQ + 0时（这时显然有兀oTG + O）,对上式两端取极限，即
lim/W 5+() g(x)
f og'(兀°)
证毕。
关于定理二的证明方法也同定理1类似，这里就不点出。当然，还有其他不同的证明方 法。
（-）洛必达法则使用条件
只有在分子、分母同时趋于零或者同时趋于无穷大时，才能使用洛必达法则。
连续多次使用法则时，每次都要检査是否满足定理条件，只有未定式方可使用，若是检查结 果满足法则使用条件，才可连续使用洛必达法则，直到求出函数极限或者为无穷大，否则就 会得出错谋的结果，下面举个例子来说明。 例 1：求 lim V - Sin A
x—g x + sinx
分析：根据洛必达法则使用条件，此式为竺型，所以可以使用洛必达法则，但是
00
limX~SmX =lim_g,结果所得非不定式，所以只能使用一次洛必达法则, 入 TOC 兀 + sin 兀 “Toe 1 + cos x 而不能再进行第二次。 一 x-sinx - 1 -cosx z sinx、
解: lim ------ = lim ------------- = lim( ----------- ) XT? 兀+ sinx XT8] + COSX 大 TOO sinx
1 --------
事实上，lim
lim—
% + sinx XTR * sinx
=1,这里为了说明问题，才使用上面的解法,
x
这里也可以看出，寻找最为简便的解题方法才是匸确解题的关键。
sin兀
二、洛必达法则的应用
（-）基本类型：不定式直接应用法则求极限 3 c r 1- 1 -COSX 例2：求lim ------- ——.
解：这是°待定型。运用洛必达法则，我们何
0
■ ?lim XT0 X------- 1 -cosx 2 XT0 ——一 （=lim -------- （1 —cos 兀）'-sinx X2）1 XTO 2x- ---- = lim --------
因为
sin r
lim
XTO
X
-1
-1- -cosx 1 sin x 1 从而lim
A->0— X2 =—2 golim 兀 2
例 4：求 lim—In （xcr
）-0）. XTXO 兀a 解：上述极限是聖待定型，于是00
lim
lnx
lim
1
xa =0
片一>+8
X->+00
axa
(二)未定式的其它类型：0?oo、00-00、0\\ 8°、广型极限的求解
此外，除了°型或送型这两种待定型外，还可以通过转化，来解其他待定型。譬如0 00
0-00, 00-00,0°,1\ ?等待定型，由于他们都可以转化为9型或聖型，
0 00 因此，也可以用洛必达法则来求出他们的值叫
关于如何转换,例如lim /(x) = 0,limg(x) = oo,则li吋(兀)g(兀)是0?oo形式,这时,可以写为(兀)=单或卑.，这就转化为2型或超型了。此外对于r,o°, d等
1 1 0 00
g(x)
不定式，可以取对数化为0?oo的形式，再运用如上方法便可转化为°型或竺型了，下面对这些待定型一一举例解答以作说明⑶O 1 9
例 5： lim(—-ctan^ x).
x
解：这是00 - 00型，设法化为90
形式：
■ ? 2 2 「lim( / 1 —-ctan^ x) =2 lim ---------------- 、 (? S1IT X-X^ COS X ----- ------- 工T()%2 ?YT() 兀2 sin^ 兀
“ sinx + xcosx sinx-xcosx
二 lim --------------------------- ---------- “TO sin兀 x sin% = (1 + 1) lim ------- ----------- “sinx — xcosx
兀兀■ sin兀
TOO
0 00
浅析洛必达法则求函数极限.docx
