1k211 ?4(?4)?4(?) 2124k?10k?424k2?4?10k2因为4k2?4142?10?24k??10?18（当且仅当k2?1时取等号） 22kk所以,
14k2?41?10k2?(0,11116],也所以4(?)?[,2] 1824k2?41?1092k所以综上所述,S四边形PMQN的面积的最小值为
16,最大值为2. 9a;也可能为a?1个a?baba2?ab?bb?(a?1)??(即取出的是黑球),概率为,故EX1?a?. a?ba?ba?ba?ba(2)首先,P(Xn?1?a?0)?P?;k?1时,第n?1次取出来有a?k个白球的可能性有两种; 0a?b第n次袋中有a?k个白球,显然每次取出球后,球的总数保持不变,即a?b个白球(故此时黑球有
a?kb?k个),第n?1次取出来的也是白球,这种情况发生的概率为P; k?a?b第n次袋中有a?k?1个白球,第n?1次取出来的是黑球,由于每次球的总数为a?b个,故此时
b?k?1黑球的个数为b?k?1.这种情况发生的概率为P?(k?1). k?1a?ba?kb?k?1故P(Xn?1?a?k)?P??P?(k?1). kk?1a?ba?b14.【解】(1)n?1时,袋中的白球的个数可能为a个(即取出的是白球),概率为(3)第n?1次白球的个数的数学期望分为两类:
第n次白球个数的数学期望,即EXn.由于白球和黑球的总个数为a?b,第n?1次取出来的是白球,这种情况发生的概率是白球的个数是EXn?1.
a?b?EXnEXn;第n?1次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是,此时
a?ba?bEXna?b?EXn(EXn)2EXnEXn??(EXn?1)??(1?)(EXn?1) 故EXn?1?a?ba?ba?ba?b(EXn)2(EXn)2EXn)1?EXn??1??(1?)EXn?1 ?a?ba?ba?ba?b115.(1)f?(x)?lnx?x??lnx?1;
x(2)若c?lna,则|lnx?c|?lnx?c,显然,当c?lna,lnx?c取最小; 若c?lnb,则|lnx?c|?c?lnx,当c?lnb,c?lnx取最小.
故lna?c?lnb.
ecb1b1|lnx?c|dx?[(lnx?c)dx??ec(c?lnx)dx] b?a?ab?a?aecb1?{?[(lnx?1)?(c?1)]dx??c[(c?1)?(lnx?1)]dx}
eb?aac由(1)知?[(lnx?1)?(c?1)]dx?xlnx|ea?(c?1)(e?a)
aecc?bce [(c?1)?(lnx?1)]dx?(c?1)(ec?a)?xlnx|bec所以,
1b1|lnx?c|dx?(?alna?blnb?2ec?a?b?ac?bc)?b?aab?a(?)
记g(c)??2ec?(a?b)c?alna?blnb?a?b, 则令g?(c)??2ec?a?b?0,得c?即c?a?b 21ba?b时,|lnx?C|dx取最小值. b?a?a21a?ba?b(3)将c?代入(?)式右边,Ma,b?[?alna?blnb?(a?b)ln]?ln2
b?a22a?b等价于(a?b)ln?alna?blnb?(b?a)ln2?(a?b)?ln(a?b)?alna?blnb?2bln2
2ba?aln(a?b)?alna?bln(a?b)?blnb?2bln2?aln(1?)?bln(?1)?2bln2.
abaab由于0?a?b,?1?2时,bln(1?)?bln2.所以下面只须证明aln(1?)?bln2即可.
bbababa又aln(1?)?bln2?ln(1?)?ln2.令?t?(0,1),
ababab111则ln(1?)?tln(1?)?ln(1?)t,注意到函数ln(1?)t是单调递增的,且t?1. battt11所以ln(1?)t?ln(1?)1?ln2.得证.
t1天津大学等九所高校“卓越联盟”自主招生 学业水平测试试卷分析
对于数理知识测试中数学部分，专家评论道：数学考题考察的是高中数学的基本知识、
基本概念和基本技能，但只是考察的侧重点与高考不同，试题重点考察了学生的空间想象能力，要求学生能将“数”与“形”相结合来分析和解决问题。该份试卷从工科院校的特点出发，考察了学生应用基础知识求解几何与分析方面的（最大值或最小值）优化问题,能够延伸性地考察学生的数学能力。
对于数理知识测试中物理部分,专家评论道:物理题目涉及了力学、热学、光学、电磁学、振动、近代物理知识,体现了能力测试为主导,特别是考核学生综合运用基础知识,基本技能解
决问题和分析问题的能力。选择题多数与高考题类型相似,主要考核学生对物理基本概念、基本思想的理解掌握程度和基本原理的运用能力。计算题主要考察了电学、热学和力学知识的综合应用能力。
卓越联盟自主招生数学试题及答案（全）
