20XX年同济大学等九校(卓越联盟)自主招生
数学试题
分值: 分 时量: 分钟
一、选择题,
1.已知向量a,b为非零向量,(a?2b)?a,(b?2a)?b,则a,b夹角为( ) A.
?????? B. C. D. 6336tan(?????)?( )
tan(?????)2.已知sin2(??r)?nsin2?,则
A.
n?1nnn?1 B. C . D. n?1n?1n?1n?13.在正方体ABCD?A1B1C1D1中,E为棱AA1的中点,F是棱A1B1上的点,且A1F:FB1?1:3,则异面直线EF与BC1所成角的正弦值为( ) A.
15 B. 31555 C. D. 535z2?2z?24.i为虚数单位,设复数z满足|z|?1,则的最大值为( )
z?1?i A.
2?1 B. 2?2 C. 2?1 D. 2?2 5.已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,?ABC三个顶点都在抛物线上,且?ABC的重心为抛物线的焦点,若BC边所在的直线方程为4x?y?20?0,则抛物线方程为( ) A.. y2?16x B. y2?8x C. y2??16x D. y2??8x
6.在三棱柱ABC?A1B1C1中,底面边长与侧棱长均不等于2,且E为CC1的中点,则点C1到平面AB1E的距离为( ) A.
3 B. 2 C.
32 D. 227.若关于x的方程
|x|?kx2有四个不同的实数解,则k的取值范围为( ) x?4 A. (0,1) B. (,1) C.(,??) D. (1,??)
8.如图,?ABC内接于O,过BC中点D作平行于AC的直线l,l交AB于E,交O于G、F,交OA 在A点处的切线于P,若PE?3,ED?2,EF?3,则PA的长为( ) l A.
14145 B. 6 C.7 D.22 ,10
P G E O D B F 第8题图 C 9.数列{ak}共有11项,a1?0,a11?4,且|ak?1?ak|?1,k?1,2, 满足这种条件的不同数列的个数为( )
A. 100 B. 120 C. 140 D. 160 10.设?是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为
2?的旋转,?表示坐标平面关于y轴的镜面反射.7用??表示变换的复合,先做?,再做?.用?k表示连续k次?的变换,则???2??3??4是( ) A. ?4 B. ?5 C.?2? D.??2
二、解答题
11.设数列{an}满足a1?a,a2?b,2an?2?an?1?an. (1)设bn?an?1?an,证明:若a?b,则{bn}是等比数列; (2)若lim(a1?a2?n???an)?4,求a,b的值;
12.在?ABC中,AB?2AC,AD是角A的平分线,且AD?kAC. (1)求k的取值范围;
(2)若S?ABC?1,问k为何值时,BC最短?
13.已知椭圆的两个焦点为F1(?1,0),F2(1,0),且椭圆与直线y?x?3相切. (1)求椭圆的方程;
(2)过F1作两条互相垂直的直线l1,l2,与椭圆分别交于P,Q及M,N,求四边形PMQN面积的最大值与最小值.
14.一袋中有a个白球和b个黑球.从中任取一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复n次这样的操作后,记袋中白球的个数为Xn. (1)求EX1;
(2)设P(Xn?a?k)?pk,求P(Xn?1?a?k),k?0,1,(3)证明:EXn?1?(1?
15.设f(x)?xlnx. (1)求f?(x);
(2)设0?a?b,求常数c,使得
,b;
1)EXn?1. a?b1b|lnx?c|dx取得最小值;
b?a?a(3)记(2)中的最小值为Ma,b,证明Ma,b?ln2.
参考答案: 一.选择题1.B二.解答题
2.D3.B4.C5.A6.D7.C8.B9.B10.D
11.【解】(1)证:由a1?a,a2?b,2an?2?an?1?an,得2(an?2?an?1)??(an?1?an). 令bn?an?1?an,则bn?1??bn,所以{bn}是以b?a为首项,以?为公比的等比数列; (2)由(1) 可知bn?an?1?an?(b?a)(?)n?1(n?N*),
12121211?(?)n2,即a?a?2(b?a)[1?(?1)n], 所以由累加法得an?1?a1?(b?a)n?11321?(?)2也所以有an?a?(b?a)[1?(?)n?1](n?2),n?1时,a1?a也适合该式; 所以an?a?(b?a)[1?(?)n?1](n?N*)
23122312也所以a1?a2?11?(?)n22]?na?2(b?a)n?4(b?a)?4(b?a)(?1)n ?an?na?(b?a)[n?1339921?224?an)?4,所以a?(b?a)?0,?(b?a)?4,解得a?6,b??3.
n??3912.【解】(1)过B作直线BEAC,交AD延长线于E,如图右. A BDAB所以,??2, C CDACD B DEBEBD也所以有???2,即BE?2AC,AE?3BD.
ADACDC在?ABE中,有AE2?AB2?BE2?2AB?BEcos?EBA.
由于lim(a1?a2?即(3AD)2?(2AC)2?(2AC)2?2(2AC?2AC)?cosA 所以,9(kAC)2?8AC2?8AC2?cosA,即k2?(1?cosA)?(0,所以0?k?E 8916) 94. 31AB?AC?sinA?AC2sinA?1 25?4cosA
sinA(2)因为S?ABC?在?ABC中,有BC2?AB2?AC2?2AB?ACcosA?5AC2?4AC2cosA?记y?5?4cosA,则ysinA?4cosA?5,y2?42sin(A??)?5
sinA当sin(A??)?1时,y2?42?5?y?3 此时y取最小值,此时cosA?故当k?3. 585时,BC取最小值3. 15x2y213.【解】设椭圆方程为2?2?1(a?b?0),因为它与直线y?x?3只有一个公共点,
ab?x2y2?1,??所以方程组?a2b2只有一解,整理得(a2?b2)x2?23a2x?3a2?a2b2?0.
?y?x?3.?所以?(?23a2)2?4(a2?b2(3a2?a2b2)?0,得a2?b2?3.
又因为焦点为F1(?1,0),F2(1,0),所以a2?b2?1,联立上式解得a2?2,b2?1
x2?y2?1. 所以椭圆方程为2(2)若PQ斜率不存在(或为0)时,则S四边形PMQN?若PQ斜率存在时,设为k(k?0),则MN为?|PQ|?|MN|?222?21?212?2.
1. k所以直线PQ方程为y?kx?k.设PQ与椭圆交点坐标为P(x1,y1),Q(x2,y2)
?x22??y?1,联立方程?2化简得(2k2?1)x2?4k2x?2k2?2?0.
?y?kx?k.??4k22k2?2,x1x2?2则x1?x2?2 2k?12k?1(1?k2)[16k4?4(2k2?1)(2k2?1)]k2?1?222所以|PQ|?1?k|x1?x2|?
2k2?12k?12k2?1同理可得|MN|?22 2?k2所以S四边形PMQN12k|PQ|?|MN|(k?1)k?2k?112??44?44?4(?4)
2(2?k2)(2k2?1)2k?5k2?222k?5k2?22242
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