(2)ker(?)?{0}
设?1,?,?p为ker(?)的基,将其扩充为V1,V2的基.
?,?s和?1,?,?p,?1,?,?t由维数公式知 分别为?1,?,?p,?1，?1,?,?p,?1，?,?s,?1,?,?t线性无关.
?,?s,?1,?,?t, ?1,?,?q 故可扩充为V的基?1,?,?p,?1，从而p?s?t?q?n,作
??0,??V2??1(?)???(?),??{?1，?,?s}
?1??(?),??{?1,?,?q}?2
??0,??V1??2(?)???(?),??{?1,?,?t},
?1??(?),??{?1，?,?q}?2则?1,?2就是所求.
此类题目是根据要求构造n维线性空间V的线性变换这类题目难度也较大.
二:下面是关于线性变换的值域与核的维数的两个结论：
结论1：设线性空间V??1?V'的线性映射，W是V'的子空间，且W?Im?则
?W???v?V??v??W??1是V的子空间，且
dimW?dimker??dim??W?。
是V上的线性变换，则
结论2：W是有限维线空间V的子空间，?（1）dimW?dimker??dim??(W)??dimW （2）dimW?dim??1?W??dimW?dimker?
其中??1?W???v?V??v??W?。
证明: (1)可证明dim??(W)??dim(ker(?)?W)?dimW
设ker(?)?W的基为?1,??s将其扩充为W的基?1,??s,?s?1,?,?t
dimW?t
?(W)?L(?(?1),?,?(?s),?(?s?1),?,?(?t))?L(?(?s?1),?,?(?t))
设ks?1?(?s?1)???kt?(?t)?0则
ks?1?s?1???kt?t?ker??W
ks?1?s?1???kt?t?k1?1???ks?s?ki?0i?1,?,t
故?(?s?1),?,?(?t)为?(W)的基
?dim?(W)?t?s
?dim??(W)??dim(ker(?)?W)?dimW
容易知dim(ker??W)?dim(ker?) 故 可得dimW?dimker??dim??(W)??dimW (2)设dimW?r,dim??1(W)?p
由??1?W?的定义知，ker????1?W?， 设?1,?,?q为ker?的基，将其扩充为
?1,?,?q,?q?1,?,?p 由??1??1(W)的一组基：
(W)的定义知
?(?1),?,?(?q),?(?q?1),?,?(?p)?W………………….(*) 故
?(?q?1),?,?(?p)?W 则?(?q?1),?,?(?p)必线性无关. 因为
设kq?1?(?q?1)???kp?(?p)?0
则?(kq?1?q?1???kp?p)?0,kq?1?q?1???kp?p?ker?
kq?1?q?1???kp?p?k1?1???kq?q
从而kq?1???kp?0 由?(?q?1),?,?(?p)线性无关 得 p?q?,rp?q?；r
?1?1 另外 断定?(??1(W))?W??(V.)首先,?(?(W))?W(由??W?义)
又?(??1(W))??(V) 故?(??1(W))?W??(V)
另???W??(V)则??,s.t. ???(?)?W,故 ????1(W). 从而???(?)??(??1(W)),W??(V)??(??1(W)) 从而得到?(??1(W))?W??(V),又
dim(W??(V))?dim(W)?dim?(V)?dim(W??(V)) ?dimW?dim?(V)?dim?(??1(W))因为dim?(V)?dim(ker?)?n
dim(W??(V))?n r?n?q?dim?(??1 故
(W))?n,r?q?dim(?(??1(W))
又因为dim??1(W)?p?dim?(??1(W))?q 这样得r?p； 综上得
r?p?r?q 也即证明了
dimW?dim??1?W??dimW?dimker?
结论1中有条件限制W?Im(?),所以?(??1(W))?W??(V)?W由(*) 可得到W?L(?(?1),?,?(?q),?(?q?1),?,?(?p))用同样的方法可证明结论1.这样就给出了结论2中的等式成立的一个充分条件.
注:结论2可证明关于两个n阶方阵A,B的sylvester不等式:
r(A)?r(B?)n? Br(A)证明: 设n阶方阵为n维线性空间V上的两个线性变换?,?在一组基?1,?,?n
下的矩阵. 令W??(V),于是
(??)(V)?{??(?)??V}?{?(?(?))??V}?{?(?)???(V)}?{?(?)??W}??(W)
?r(??)?r(?(W))
由结论2知
r(?)?r(?)?n?dimW?(n?r(?))?dimW?dimker??dim??(W)?
?r(A)?r(B)?n?r(AB)
三: 下面是幂等变换的值域与核的一些结论
结论1：若?2???L(V(P))则
（1）ker??????(?)??V??W1 （2）?(V)?????(?)??V??W2 （3）V??(V)?ker?
证明略
应用此结论来解下面的例题：
例题2:设V?V1?V2，?是V上的线性变换且适合条件：
?(v1?v2)?v1,v1?V1,v2?V2，求证：?2??，并求?(V)及ker?，又
若e1,e2,?,er是V1的基，er?1,?,en是V2的基，求?在基
e1,e2?,,re?r,e?,1e,下的的矩阵。 n证明： ???V，??v1?v2,v1?V1,v2?V2，
?(?)??(v1?v2)?v1 ?(?)??(v1)??(v1?0)?v1
??22??
由ker??????(?)??V? 而V2??v2??(v2)v2?V2? 故ker??V2
而V1??v1??(v1)v1?V1? 故?(V)?V1
而?(e1,e2,?,er,er?1,?,en)?(e1,e2,?,er,er?1,?,en)??Er?00??. 0?结论2:设V是域P上的n维线性空间，W1与W2是V的两个子空间，若
V?V1?V2，证明存在唯一的
?(V)?V1，V上的幂等线性变换?，使得：
ker??V2，即V??(V)?ker?
证明： 例2中的线性变换就的要求的线性变换。
???V，??v1?v2,v1?V1,v2?V2，
?(?)??(v1?v2)?v1
已证?2??，且?(V)?V1，ker??V2 下面只要证明唯一性
若还存在幂等变换?，使得?(V)?V1，ker??V2 可以证明???
??(V)??(V)?V1
???(?)??(V)??(V) ???V,s.t. ?(?)??(?)
故???V 有
2(??)(?)??(?(?))??(?(?))??(?)??(?)??(?)
?????……………………………….(1) 又因ker??ker? 于是 ???V
??(?)??(?)
??(?(?)??)?0 ??(?)???ker??ker?2 故
有限维线性空间上线性变换的值域与核
