有限维线性空间上线性变换的值域与核
数学系 04数本 410401142 郭文静
摘要： 定义在有限维空间V上的线性变换的值域与核都是V的子空间。本文
主要讨论了这两个子空间与大空间的关系。本文还进一步讨论了幂等变换的值域与核的有关性质。简明介绍了用线性变换的值域与核来刻划可逆变换.
关键词：值域、核、直和、幂等变换。 正文： 定义1：设?是线性空间V上的一个线性变换，?的全体象的集合称为的?值
域,用??V?或Im?表示，所有被?变成零的向量的集合称为?核，用
??1?0?或Ker???表示。且记为：
??V??Im?????????V?
?Ker ??1(0)???????????0,??V?.
不难证明，??V?与??1?0?都是?的不变子空间。
一:线性空间V结论1:
与ker?,?(V)的关系
的秩＋?的零度＝dim?V?.
dim?(V)?dim(ker?)??证明见 《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研代数小组编。 应当指出，虽然子空间??V?与Ker???的维数之和为n，但是，
??V????1?0?不一定是整个子空间，那么当?满足什么条件时
?1V???V????0?？若V???V????1?必须满足什么条件呢？?0?成立，
结论2就回答了这个问题.
结论2: ?为n维线性空间V上的线性变换，则
秩?2?秩??V???V????1?0? 证明：???设?1,?2,...,?n是V的一组基，
而??V??L????1?,?,???n???L????i1?,?,???is?? 这里???i1?,?,???is?为??V?的一组基.于是， ?2?V??L??2??i1?,?,?2??is?? 已知 秩?2?秩? 则
dim?2?V??dim??V? 则?2??i1?,?,?2??is? 为
?2V?的基。
?????V????1?0? 则 ??a1???i1????as???is?
且0??????a1?2??i1????as?2??is? 从而a1???as?0 即??0
故??V????1?0??{0} 即??V????1?0?为直和. 又因为dim???V????1?0???dim??V??dim??1?0??n 所以 V???V????1?0? ；
???设 V???V????1?0?，任取????V????1?0?
???V,s.t??????，
而 ?????1???????1?0?,?1?V
于是???2??1???2?V?，故??V???2?V? 显然，??V???2?V? 所以，??V???2?V? 得，秩?2?秩?.
特别的，如果?2??，那么V???V????1?0?
结论3: 数域P上的n维线性空间V的任一子空间W必为某一线性变换的核。
证明：设V的任一子空间W的一组基为?,?,?,?s 则它可扩充为V的一组
基?1,?2,?,?s,?s?1,?,?n . 作线性变换
???(?i)?0????(?j)??i?1,?,sjj?s?1,?,n
下面验证W?ker?
?x1?x2????W,??(?1,?2,?,?s)????x?s?x1?x2?(?)?(?(?1),?,?(?s))?????x?s???ker????ker???? ????????0 ??????x1????0,0,?,0?x2?????????x??s
，?????0 ??0 则??W
???? s?1?j?n ?j?W,xj?0 ?????????x??j?????x1??x2否则??(?1,?2,?,?s,?j)????xs??xj ?????x1??x2?????1?,????s?,???s??????xs??xj??
j??j?W 故?(?j)?0
又 xj?0 故?(?)?0 与??Ker?矛盾
r?W ?Ke?
?W?Ker?
???W结论4: 设W1,W2是n维线性空间V的两个子空间,且其维数之和为n,则存在
V线性变换?,使Ker??W1,?(V)?W2
证明: 设dimW1?s,则dimW2?n?s?m,
在W2中任取一组基?1,?2,?,?m
再在W1中取一组基?1,?2,?,?s 并将其扩充为V的基
?1,?2?,,?,???,ss1 ?n用?表示以下条件所确定的线性变换:
?(?1)????(?s)?0
?(?s?1)??1,?,?(?n)??m
首先,显然?(V)?L(?1,?2,?,?m)=W2 其次,由于?1,?2,?,?s是W1的基,
?W1?L(?1,??S)?ker?,
另一方面,???ker?
设??k1?1???ks?s??ks?1?s?1??kn?n, 则由?(?)?0
???????k1?1???ks?s??ks?1?s?1?kn?n??ks?1?1???kn?m?0
由线性无关，得 ks?1???km?0 知
??k1?1???k????W1，?ker??W1
故ker??W1
注： 对于n非线性空间V的线性变换，有子空间??V?与ker?dim???V，s?t
???dim?ker???n
反过来，若有两个子空间W1与W2，有dimW1?dimW2?n，
W1与W2能否成为某个线性变换的值域与核，本例题就回答了这个问题.
且易验证，秩?2?秩?，故V?W1?W2?ker????V?.
结论5: 设A是n维线性空间V的一个线性变换，证明：若A(V)??的维数为r，
则必有一个r维的子空间W，使V?W?A?1?0?
证明： 因A(V)??的维数为r，故可设?1??r为A(V)??的一组基，于是存在
?i?V,s?tA?i??i,i?1,?2 r
显然，?1,?2,?,?r是线性无关，令 W?L(?1??r) 则W是V的一个r维子空间. 下证 V?W?A?1(0)
???W?A(0)，设??k1?1???kr?r?1，
A??0
即 A??A(k1?1???kr?r)?k1A?1??krA?r?k1?1???kr?r?0 因?1,?,?r无关，故k1???kr?0???0?W?A?1(0)?{0} 因dim(AV)?dim(A?1(0))?dim(W)?dim(A?1(0))?n，得
dimV?n?dimW?dimA(0)?dim(W?A(0))?dim(W?A(0))?dim(W?A(0))?V?W?A(0).?1?1?1?1?
因此V?W?A?1(0).
注：虽有dimAV?dimA(0)?n，但未必有V?A(V)?A(0)?1?1，本例提出却
有与A(V)??维数相同的子空间W，使用使V?W?A?1(0)成立。此结论是显然的。由《高等代数》北大数学系几何与代数教研室代数小组编第2版第
268页定理10，U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W使V?U?W。
本题也可设A?1(0)的一组基?1,?,?n?r，将其扩充为V的一组基
?1,?,?n?r,?n?r?1,?,?n.那么W?L(?n?r?1,?,?n)满足题目要求.
下面是一道非常有趣的例题:
例题1:设n维线性空间V有两个子空间V1,V2,便得ker(?)?V1?V2,其中
r(V?)2,??L(V)则存在?1,?2?L(V),使得V1?ke?2?k且er()?1??2??.
证明: (1)ker(?)?{0}时是显然的
有限维线性空间上线性变换的值域与核
