——圆
◆知识讲解
一．圆的定义
1、在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
2、圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合。
3、确定一个圆需要两个要素：一是位置二是大小，圆心确定其位置，半径确定其大小。 4、连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弦记作“圆弧AB”，或者“弧AB”。大于半圆的弧叫作优弧（用三个字母表示，如ABC）叫优弧；小于半圆的弧（如AB）叫做劣弧。
二、垂直于弦的直径、弧、弦、圆心角
1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弦。
2、垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 3、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等。 在等圆中，弦心距相等的弦相等。 三、圆周角
1、定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角。
2、定理：一条弧所以的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。 3、推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所以的圆周角相等。
（2）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 四、点和圆的位置关系
1、设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d。
则d>r ?点在圆外，d=r ?点在圆上，d 3、经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫这个圆的内接三角形。外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等。 4、反证法证题的步骤 （1）假设命题的结论不成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 5、锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部。 五、直线和圆的位置关系（一） 1、直线与圆的三种位置关系 （1）从公共点个数来判断 直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相交；直线与圆没有公共点时，直线与圆相离。 （2）从点到直线的距离d与半径r的大小关系来判断 d 1、切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。 2、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等。这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 3、与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。内心到三角形三边距离相等。 七、圆与圆的位置关系 1、位置关系 （1）从公共点的个数和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆的位置关系有五种，外离、外切、相交、内切、内含。 （2）从公共点的个数来考虑分三种：相离、相切、相交，并且相离（外离、内含），相切（外切、内切）。 两圆的位置关系 相离 外切 相交 内切 d与r1和r2之间的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 r1-r2 内含 d 八、正多边形的有关概念及计算 1、正多边形的有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径。正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 2、正多边形的计算： （1）正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。 （2）边长（an）、半径（R）、边心距（rn）、中心角（an）、周长（Pn）、面积（Sn）之间的关系为： ①中心角an=；②周长Pn=nan；③面积Sn =n rn an =Pn rn.. （3）作正多边形：利用、规等分圆周。 九、弧长和扇形面积 1、弧长计算公式：在半径为R的圆中，n的圆心角所对的弧长为l= 2、扇形面积计算公式：S扇形= (其中R为扇形半径，n为圆心角)； 3、弧长和扇形面积的关系：S扇形=R 十、圆锥的侧面积和全面积 1、圆锥的侧面展开图形状:扇形 2、侧面积计算公式：S侧 = 全面积的计算公式：S全 = +（其中l 为圆锥母线长，r为底面圆的半径） ◆例题解析 【例1】在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，5为半径作⊙O，已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，4），B（－3，－3），C（4，?10）。试判断A、B、C三点与⊙O的位置关系。 【分析】要判断点与圆的位置关系就是要比较点到圆心的距离与半径的大小关系。 解：∵OA＝OA?3?4?5 22OB?(?3)2?(?3)2?32?5 OC?42?(?10)2?26?5 ∴点A在⊙O上，点B在⊙O内，点C在⊙O外。 【例2】如图，△ABC中，∠A＝70，⊙O截△ABC的三条边所截得的弦长都相等，则∠BOC＝ 。 【分析】由于⊙O截△ABC的三条边所截得的弦长都相等，则点O到三边的距离也相等，即O是△ABC角平分线的交点，问题就容易解决了。 解：作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，则OD＝OE＝OF ∴O为△ABC角平分线的交点 ∵∠A＝70 ∴∠ABC＋∠ACB＝110 0 0 0 AFODE100 ∴∠OBC＋∠OCB＝×110＝55 2 ∴∠BOC＝180－55＝125 【例3】如图1，在⊙O中，AB＝2CD，那么（ ） A、AB?2CD B、AB?2CD ????0 0 0 BC例2图 C、AB?2CD D、AB与2CD的大小关系不能确定 【分析】如图1，把2CD作出来，变成一段弧，然后比较2CD与AB的大小。 解：如图1，作DE?CD，则CE?2CD ∵在△CDE中，CD＋DE＞CE ∴2CD＞CE ∵AB＝2CD ∴AB＞CE ∴AB?CE，即AB?2CD ??????????????? yEA?OBA?OB?MOCDEACD Bx C例3图1 ?变式图 ? 问题图 变式：如图，在⊙O中，AB?2CD，问AB与2CD的大小关系？ 略解：取AB的中点E，则AB?BE?CD ∴AB＝BE＝CD ∵在△AEB中，AE＋BE＞AB ∴2CD＞AB，即AB＜2CD 探索与创新： 2【问题】已知点M（p，q）在抛物线y?x?1上，若以M为圆心的圆与x轴有两个 ????2交点A、B，且A、B两点的横坐标是关于x的方程x?2px?q?0的两根（如上图）。 （1）当M在抛物线上运动时，⊙M在x轴上截得的弦长是否变化？为什么？ （2）若⊙M与x轴的两个交点和抛物线的顶点C构成一个等腰三角形，试求p、q的值。 【分析】（1）设A、B两点的横坐标分别是x1、x2，由根与系数的关系知x1?x2?2p， x1?x2?q，那么：AB?x1?x2?(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2?2p2?q，又 22因为M在抛物线y?x?1上，所以q?p?1。故AB＝2，即⊙M在x轴上截得的弦长不 变。 （2）C（0，－1），BC?x2?1，AC?x1?1 22①当AC＝BC，即x1??x2时，p?0，q??1； ②当AC＝AB时，x1?1?4，x1??3，p?1?3，q?3?23或p?23?1， q?3?23 ③当BC＝AB时，x2??3，p?3?1，q?3?23或p??3?1，q?3?23
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