19,20,21,22题题组训练(七)
(时间：45分钟 分值：38分 得分：__________分)
19．(9分)某兴趣小组想测量一座大楼AB的高度．如图，大楼AB前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i＝1∶3.在离C点40米的D处，用测角仪测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？(结果精确到0.1米．参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，3≈1.73)
20．(9分)如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，以OB为对角线作正方形m
OABC，一次函数y＝kx＋b的图象过A，B两点，反比例函数y＝(x＞0)的图象过线段AB的
x中点M，点M的坐标为(3,1)．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)设反比例函数的图象与直线AB的另一个交点为N，点D是线段MN上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，连接OD，若△ODE的面积为S，求S的取值范围．
21．(10分)小聪是一名爱学习的孩子，他在学习完二次函数后，对函数y＝x2(x－3)的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.
x y x 1 4 35 32 7 38 33 13 4… … … 6－ 5－6.05 －1 －4 2－ 3－1.63 1－ 2－0.88 1－ 4－0.20 0 0 1 4－0.17 2 3－1.04 y m －2.96 －3.70 －4 －3.63 －2.37 0 2.64 …
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如上表所示，其中m＝________； (2)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，请你根据描出的点，画出该函数的图象；
(3)观察函数图象，写出一条该函数的性质：________________________________； (4)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有__________个交点，所以对应的方程x2(x－3)＝0有__________个不相等的实数根；
②若关于x的方程x2(x－3)＝a有3个不相等的实数根，则a的取值范围是________．
22．(10分)某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做了如下研究：
【问题发现】(1)如图①，在等边三角形ABC中，点M是BC上任意一点，连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，则∠ABC和∠ACN的数量关系为________；
【变式探究】(2)如图②，在等腰三角形ABC中，AB＝BC，点M是BC边上任意一点(不含端点B，C)，连接AM，以AM为边作等腰三角形AMN，使∠AMN＝∠ABC，AM＝MN，连接CN，试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由；
【解决问题】(3)如图③，在正方形ADBC中，点M为BC边上一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中心，连接CN，AB，AE，若正方形ADBC的边长为8，CN＝2，直接写出正方形AMEF的边长．
参考答案
图① 图② 图③
19．解：如图，延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF于点H.
BF
在Rt△BCF中，＝i＝1∶3，
CF∴设BF＝k， 则CF＝3k，BC＝2k. ∵BC＝12，∴k＝6. ∴BF＝6，CF＝63. ∴DF＝DC＋CF＝40＋63.
易得FH＝DE＝1.5，∴BH＝BF－FH＝4.5.
在Rt△AEH中，∠AEH＝37°，EH＝DF＝40＋63， ∴AH＝EH·tan∠AEH＝(40＋63)×tan 37°≈37.785. ∴AB＝AH－BH≈37.785－4.5≈33.3. 答：大楼AB的高度约为33.3米． 20．解：(1)∵四边形OABC是正方形， ∴设A(a，c)，则B(2a,0)．
∵M(3,1)是AB的中点，∴a＝2，c＝2. 将A(2,2)，B(4,0)代入y＝kx＋b，
?k＝－1，?2＝2k＋b，?
得?解得?
??b＝4.?0＝4k＋b，
∴一次函数的表达式为y＝－x＋4. m
∵反比例函数y＝(x＞0)的图象过点M，
x3
∴m＝3×1＝3.∴反比例函数的表达式为y＝.
x3
(2)令 ＝－x＋4.解得x1＝1，x2＝3.
x3
将x＝1代入y＝，得y＝3，∴N(1,3)．
x
∵点D是线段MN上一点，∴设D(x，－x＋4)，1≤x≤3. 111
∴S＝x·(－x＋4)＝－x2＋2x＝－(x－2)2＋2.
2223
∵1≤x≤3，∴≤S≤2.
221．解：(1)－2. (2)函数图象如图所示．
(3)当x＜0或x＞2时，y随x的增大而增大；当0＜x＜2时，y随x的增大而减小．(答案不唯一)
(4)①2,2；②0＜a＜－4.
【提示】②由函数图象知当0＜a＜－4时，函数y＝x2(x－3)的图象与直线y＝a有3个交点．
22．解：(1)∠ABC＝∠ACN.
【提示】∵△ABC与△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠ABC＝∠BAC＝∠MAN＝60°. ∴∠BAM＝∠CAN.
∴△ABM≌△ACN(SAS)．∴∠ABC＝∠ACN＝60°. (2)∠ABC＝∠ACN，理由如下：∵AB＝BC，AM＝MN，
∴
ABAMABBC＝＝1.∴＝. BCMNAMMN
∵∠ABC＝∠AMN，∴△ABC∽△AMN. ∴
ABAM
＝，∠BAC＝∠MAN. ACAN
∴∠BAM＝∠CAN.∴△ABM∽△ACN.∴∠ABC＝∠ACN. (3)正方形AMEF的边长为10.
BMAB
【提示】同理可得△ABM∽△ACN.∴＝＝2.
CNAC∴BM＝2CN＝2.∴CM＝BC－BM＝8－2＝6. ∴AM＝AC2＋CM2＝82＋62＝10. ∴正方形AMEF的边长为10.
备战2020年中考数学题组训练：19,20,21,22(23)题题组训练7 含答案
