益阳市 普通初中毕业学业考试试卷
数 学
注意事项：1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分；
2．请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卡上；
3．请按答题卡上的注意事项在答题卡上作答，答在试题卷上无效； 4．本学科为闭卷考试，考试时量为90分钟，卷面满分为150分； 5．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回。
试 题 卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
11．? 的相反数是
20161A．2016 B．?2016 C．
20161 D．?
20162．下列运算正确的是
A．2x?y?2xy B．x?2y2?2xy2 C．2x?x2?2x D．4x?5x??1
??x?3,3．不等式组? 的解集在数轴上表示正确的是
2x?1?3?
A B C D
4．下列判断错误的是 ．．
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形 C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
5．小军为了了解本校运动员百米短跑所用步数的情况，对校运会中百米短跑决赛的8名男运动员的步数进行了统计，记录的数据如下：66、68、67、68、67、69、68、71，这组数据的众数和中位数分别为
A．67、68 B．67、67 C．68、68 D．68、
67
6．将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是
A．360° B．540° C．720° D．900° 7．关于抛物线y?x2?2x?1，下列说法错误的是 ．．
A．开口向上
点
C．对称轴是直线x?1
D．当x?1时，y随x的增大而减小
8．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的
?长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB?C??（B?C为水平线），测角仪BD的高度为1米，则旗杆PA的高度为 P
B．与x轴有两个重合的交
1
CAB?B?D11 B．
1?sin?1?sin?11C． D．
1?cos?1?cos?二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡中对应题号后的．．．
A．
横线上）
9．将正比例函数y?2x的图象向上平移3个单位，所得的直线不经过第 象限． 10．某学习小组为了探究函数y?x2?|x|的图象和性质，根据以往学习函数的经验，列表确
定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的m= ． –––1 0 0.5 1 1.5 2 … x … –2 1.5 0.5 ––y … 2 0.75 0 0 0 0.20.2m 2 … 5 5 311．我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比例函数y??的图
x象上有一些整点，请写出其中一个整点的坐标 ．
12．下图是一个圆柱体的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积为 ．（结果保留
?）
6
4
主视图 左视图
俯视图 第13题图 第12题图
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，若
∠P=40°，则∠D的度数为 ．
14．小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第１个图案有１枚棋子，第２个图案有
３枚棋子，第３个图案有４枚棋子，第４个图案有６枚棋子，…，那么第９个图案的棋子数是 枚．
（1） （2） （3） （4） （5） 三、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
1?3??2?15．计算：(?1)??????????．
2?2??3?11x2116．先化简，再求值：(，其中． ?)?x??2x?11?x1?x217．如图，在ABCD中，AE⊥BD于E，
CF⊥BD于F， 连接AF，CE. 求证：AF=CE.
四、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 第17题图
18．在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测
试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）频数分布表中a = ，b= ，并将统计图补充完整；
30 2
（2）如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女
学生有多少人？
（3）已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组
中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？
频频分 组 数 率 0.1第一组（0?x?15） 3 5 第二组（15?x?30） 6 a 0.3第三组（30?x?45） 7 5 0.2第四组（45?x?60） b 0 19．某职业高中机电班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人． （1）该班男生和女生各有多少人？
（2）某工厂决定到该班招录30名学生，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为
50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数不少于1460个，那么至少要招录多少名男学生？
20．在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程． ．．．．．．．．．．．．．．．．． 作AD ⊥BC于D， 设BD = x，用含x
的代数式表示CD
五、解答题（本题满分12分） 根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x A利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积 BDC21．如图，顶点为A(3,1)的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B． （1）求抛物线对应的二次函数的表达式； （2）过B作OA的平行线交y轴于点C，
交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB； （3）在x轴上找一点P，使得△PCD的
周长最小，求出P点的坐标．
六、解答题（本题满分14分）
22．如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D为AB的中点，EF为△ACD 的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD的边上）． （1）计算矩形EFGH的面积；
（2）将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD3重叠部分的面积为时，求矩形平移的距离；
16（3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1FG11H1，将矩形E1FG11H1绕
G1点按顺时针方向旋转，当H1落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形E2F2G1H2，设旋转角为?，求cos?的值．
3
图①
图②（备用）
图③
2016年普通初中毕业学业考试参考答案及评分标准
数 学
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A D C D D A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）. 9．四；10．0.75；11．答案不唯一，如：(-3,1)；12．24?；13．115°；14．13． 三、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）．
15．解：原式=?1?12121?1?(?)=??=．…………………………………8分 232361?x?(1?x)1?x22 16．解：原式??2??． …………………………………6分 2x1?xx1当x??时，原式=4． ………………………………………………8分
217．证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠ADB=∠CBD． …………………………………2分 又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB，AE∥CF． …………4分 ∴?AED≌?CFB．………………………6分 ∴AE=CF．
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AF=CE． ………………………………………………………8分
四、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
18．解:（1）a=0.3，b=4 ………………………………………………………2分
…………………………………4分
4
（2）180?(0.35?0.20)?99（人） …………………………………7分 （3） 甲 乙1 乙2
甲1 甲2 甲3 乙 甲1 甲2 甲3 乙 甲1 甲2 甲3 乙
31p?? ……………………………………………………………10分
12419．解：（1）设该班男生有x人，女生有y人， ?x?y?42?x?27 依题意得：?， 解得?．
y?15x?2y?3??∴该班男生有27人，女生有15人．…………………………………5分 （2）设招录的男生为m名，则招录的女生为(30?m)名， 依题意得：50x?45(30?x)?1460 ，解之得，x?22，
答：工厂在该班至少要招录22名男生．…………………………10分 20．解：如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，
设BD?x，∴CD?14?x． ……………………………………………2分
A 由勾股定理得：AD2?AB2?BD2?152?x2，
AD2?AC2?CD2?132?(14?x)2， ∴152?x2?132?(14?x)2，
解之得：x?9．……………………………… 7分 ∴AD?12． ………………………………………8分
11∴S?ABC?BCAD??14?12?84．…………10分
22五、解答题（本题满分12分）
21．解：（1）∵抛物线顶点为A(3,1)，
设抛物线对应的二次函数的表达式为y?a(x?3)2?1，
1 将原点坐标（0，0）代入表达式，得a??．
3123x． …………3分 ∴抛物线对应的二次函数的表达式为：y??x2?33123x中，得B点坐标为：(23,0)， （2）将y?0 代入y??x2?33设直线OA对应的一次函数的表达式为y?kx，
将A(3,1)代入表达式y?kx中，得k?∴直线OA对应的一次函数的表达式为y?3， 33x． 33x?b， 3BDC
∵BD∥AO，设直线BD对应的一次函数的表达式为y?将B(23,0)代入y?3x?b中，得b??2 ， 33x?2． 3∴直线BD对应的一次函数的表达式为y?
5
?3x?2?y??3由?得交点D的坐标为(?3,?3)，
1223?y??x?x?33?3x?2中，得C点的坐标为(0,?2)， 将x?0代入y?3由勾股定理，得：OA=2=OC，AB=2=CD, OB?23?OD．
?OA?OC?
在△OAB与△OCD中，?AB?CD， ∴△OAB≌△OCD．……………………8分
?OB?OD?（3）点C关于x轴的对称点C?的坐标为(0,2)，则C?D与x轴的交点即为点P，它使得△PCD的周长最小．
过点D作DQ⊥y，垂足为Q，则PO∥DQ．∴?C?PO∽?C?DQ． ∴
POC?OPO223??，∴PO?,即， DQC?Q53523,0)．………………………………………………………12分 5六、解答题（本题满分14分） 22． 解：（1）如22题解图1，在?ABC中，
∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2,
1又∵D是AB的中点，∴AD=1，CD?AB?1．
21又∵EF是?ACD的中位线，∴EF?DF?，
2在?ACD中，AD=CD, ∠A=60°, ∴∠ADC=60°．
∴ 点P的坐标为(?在?FGD中,GF?DF?sin60°?∴矩形EFGH的面积S?EF?GF?3， 422题解图1
133??． ……………………………3分 248（2）如22题解图2，设矩形移动的距
1离为x,则0?x?，
2C当矩形与△CBD重叠部分为三角形时，
1则0?x?，
41321S?x?3x??．， ∴x?（舍去）．
21644BAD1122题解图2 当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时，则?x?， 42311333x????重叠部分的面积S=, ∴x?． 424416833即矩形移动的距离为时，矩形与△CBD重叠部分的面积是．…………8分
168（3）如22题解图3，作H2Q?AB于Q．
6
11，H2G1?． 4211在Rt△H2QG1中，(3m)2?(m?)2?()2 ，
42?1?13解之得m?（负的舍去）．
16设DQ?m，则H2Q?3m，又DG1?
?1?131?QG1164?3?13．……………………………………14分 ?∴cos??1H2G182CE2E1H2F1F2AH1QDG1B22题解图3
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湖南益阳2019中考试题数学卷（含答案）
