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26全国中学生物理竞赛复赛试题及答案(全Word版)

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由于在力学中[m]、[l]和[t]三者之间的相互独立性,有

??3??0, ⑧ ????0, ⑨ 2??1 ⑩ 解为

311 ???,???,?? ?

222将?式代入①式得 f?k 解法二

假设液滴振动频率与上述物理量的关系式为

f?kr????? ①

? ? ?r3式中,比例系数k是一个待定常数. 任一物理量a可写成在某一单位制中的单位[a]和相应的数值{a}的乘积a?{a}[a]. 在同一单位制中,①式两边的物理量的单位的乘积必须相等

[f]?[r]?[?]?[?]? ②

力学的基本物理量有三个:质量M、长度L和时间T,对应的国际单位分别为千克(kg)、米(m)、秒(s). 在国际单位制中,振动频率f的单位[f]为s,半径r的单位[r]为m,密度

?1

?的单位[?]为kg?m?3,表面张力系数?的单位[?]为

N?m?1=kg?(m?s?2)?m?1?kg?s?2,即有

[f]?s?1 ③ [r]?m ④ [?]?kg?m?3 ⑤ [?]?kg?s?2 ⑥ 若要使①式成立,必须满足

s?1?m??kg?m?3???kg?s?2??(kg)????m??3??s?2? ⑦

?由于在力学中质量M、长度L和时间T的单位三者之间的相互独立性,有 ??3??0, ⑧ ????0, ⑨ 2??1 ⑩

解为

311 ???,???,?? ?

222将?式代入①式得 f?k

评分标准:本题12分. 第(1)问2分,答案正确2分;第(2)问3分,答案正确3分;第(3)问7分,⑦式2分,?式3分,?式2分(答案为f?的,也给这2分).

二、(16分)

解法一:瓶内理想气体经历如下两个气体过程:

放气(绝热膨胀)等容升温(pi,V0,T0,Ni)????????(p0,V0,T,Nf)??????(pf,V0,T0,Nf)

? ? ?r3???、f?k或f?3?rmm其中,(pi,V0,T0,Ni),(p0,V0,T,Nf)和(pf,V0,T0,Nf)分别是瓶内气体在初态、中间态与末态的压强、体积、温度和摩尔数.根据理想气体方程pV?NkT,考虑到由于气体初、末态的体积和温度相等,有

另一方面,设V?是初态气体在保持其摩尔数不变的条件下绝热膨胀到压强为p0时的体积,即

绝热膨胀 (pi,V0,T0,Ni)?????(p0,V?,T,Ni)

pfpi?NfNi

此绝热过程满足

V0?p0?? ?V???pi?②

1/?

由状态方程有p0V??NikT和p0V0?NfkT,所以 ③

联立①②③式得

NfNi?V0 V??p0?? ?pi??pi?④ 此即

pf1/?

pip0 ??pi

lnpfln⑤

由力学平衡条件有

pi?p0??ghi ⑥

pf?p0??ghf ⑦

式中,p0??gh0为瓶外的大气压强,?是U形管中液体的密度,g是重力加速度的大小.由⑤⑥⑦式得

ln(1?hi)h0 ??hhln(1?i)?ln(1?f)h0h0

利用近似关系式:当x=1, ln(1?x)?x,以及 hi/h0=1, hf/h0=1,有

??⑨

hi/h0hi?hi/h0?hf/h0hi?hf

评分标准:本题16分.①②③⑤⑥⑦⑧⑨式各2分.

解法二:若仅考虑留在容器内的气体:它首先经历了一个绝热膨胀过程ab,再通过等容升温过程bc达到末态

绝热膨胀ab等容升温bc(pi,V1,T0)??????(p0,V0,T)??????(pf,V0,T0)

其中,中间态和末态的压强、(pi,V1,T0),(p0,V0,T)和(pf,V0,T0)分别是留在瓶内的气体在初态、体积与温度.留在瓶内的气体先后满足绝热方程和等容过程方程

ab: pi??1T0???p0??1T??①

bc: p0/T?pf/T0② 由①②式得

?p0?? ?pi??pi?③ 此即

pf1/?

pip0??

pi lnpfln④

由力学平衡条件有

pi?p0??ghi ⑤

pf?p0??ghf ⑥

式中,p0??gh0为瓶外的大气压强,?是U形管中液体的密度,g是重力加速度的大小.由④⑤⑥式得

ln(1?hi)h0 ??hhln(1?i)?ln(1?f)h0h0

利用近似关系式:当x=1, ln(1?x)?x,以及 hi/h0=1, hf/h0=1,有

??⑧

hi/h0hi?hi/h0?hf/h0hi?hf

评分标准:本题16分.①②式各3分,④⑤⑥⑦⑧式各2分.

三、(20分)

(1)平板受到重力PC、拉力QM0、铰链对三角形板的作用力NA和NB,各力及其作用点的

坐标分别为:

PC?(0,?mgsin?,?mgcos?),(0,0,h); QM0?(0,Q,0), (x0,0,z0);

NbA?(NAx,NAy,NAz), (2,0,0);

NbB?(NBx,NBy,NBz), (?2,0,0)

式中

h?13a2?b24 是平板质心到x轴的距离.

平板所受力和(对O点的)力矩的平衡方程为

?Fx?NAx?NBx?0 ?Fy?Q?NAy?NBy?mgsin??0?F?N Az?NBz?mgcos??0 z?M?mghsin??Q?z?0 x0 ?Mby?NBz2?NbAz2?0

?Mbz?Q?x0?NAy2?NbBy2?0

联立以上各式解得

Q?mghsin?z, 0NAx??NBx,

NAy?mgsin???1?hb2x0?mgsin??2b(z?),NBy???1?hb2x0)???0z?0?2b(z?0z0?N?1Az?NBz2mgcos? 即

Qmghsin?M0?(0,z,0)0① ②

③ ④

⑥,

26全国中学生物理竞赛复赛试题及答案(全Word版)

由于在力学中[m]、[l]和[t]三者之间的相互独立性,有??3??0,⑧????0,⑨2??1
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