2019-2020年高考数学二轮复习思想3.1函数与方程思想教学案文

由天下分享时间：2024/10/22 21:43:00 加入收藏我要投稿点赞

1．函数与方程思想的含义

(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．

(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．

2．和函数与方程思想密切关联的知识点

(1)函数与不等式的相互转化．对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．

(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．

(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解．

(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．

(5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决. 【热点分类突破】

类型一函数与方程思想在数列中的应用

例1 ．【xx河南林州一中调研】设是公比大于1的等比数列, 为数列的前项和,已知，且成等差数列. (1)求数列的通项公式；

(2)若bn?log4a2n?1,n?1,2,3...... ，求和:

1111???......? . b1b2b2b3b3b4bn?1bn例2 知数列中，，且点在直线上． ⑴求数列的通项公式； ⑵若函数f?n??123n（，且），求函数的最小值； ???…?n?a1n?a2n?a3n?an⑶设，表示数列的前项和，试问：是否存在关于的整式，使得S1?S2?S3?…?Sn?1??Sn?1??g?n?对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．

试题分析：（1）将点代入直线得到，数列是以为首项，为公差的等差数列，再由得到的通项公式；（2）由（1）可得f(n)?12n， ????n?1n?22n12n?1nn?1，，是单调递增的，故的最小值是；（3）由（1）及f(n?1)???????n?2n?32n2n?12n?21111，即nSn?(n?1)Sn?1?Sn?1?1，bn??Sn?1?????，

n23n?(n?1)Sn?1?(n?2)Sn?2?Sn?2?1,?,S2?S1?S1?1，

?nSn?S1?S1?S2???Sn?1?n-1,?S1?S2???Sn?1?nSn?n?(Sn?1)?n(n?2)，最后将该

式整理即可得出．

试题解析：⑴点在直线上，即，且，数列是以为

【规律总结】(1)等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”；(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解．【举一反三】

已知等比数列的公比，且，，成等差数列．数列的前项和为，且．（1）分别求出数列和数列的通项公式；（2）设，若，对于恒成立，求实数的最小值．

【解析】（1）且，，成等差数列，，即，，，．，．（）．当时，，当时，

2bn=Sn-Sn-1=n2-8n-轾n-1-8(n-1)=2n-9．当时，满足上式，（）． )(犏臌（2）由（1）得，，若，对于恒成立，即的最大值．又cn+1-cn=当时，即（）时，；当时，即（）时，．的最大值为，即．的最小值为．类型二函数与方程思想在方程中的应用

2n-72n-9-4n+20．当时，即时，；-=nn-1n2创3232?3例3已知函数是定义在上的偶函数，若方程的零点分别为，则（） A． B． C. D．【答案】B

【规律总结】研究此类含参数的三角、指数、对数函数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．

【举一反三】定义域为的函数若关于的方程f(x)?(2m?1)f(x)?m?0有7个不同的实数解，则（） A．6 【答案】D

【解析】由图可知方程有两个不等实根，其中一根为4，另一根在；由