二．平面向量的夹角
求夹角，用数量积，由a?b|a|?|b|cosq得cosq=a×b=|a|×|b|x1x2+y1y2x+y2121x2+y222进而求得向量a,b的夹角. ，例5.24 已知向量a=(1,3),b=(-2,0),则a,b的夹角是___________.
例5.25 已知a,b是非零向量且满足(a-2b)^a,(b-2a)^b,则a,b的夹角是（ ）.
2π5πππA． B． C． D.
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例5.26 已知向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,c=a+b,c^a,则a,b的夹角为（ ）
A．
2ππππ B． C． D.
3632变式1 已知a,b是非零向量，且满足|a|=|b|=|a-b|，则a与a+b的夹角是_________.
变式2 若平面向量α,β满足|α|=1,|β|?1，且以向量α,β为邻边的平行四边形的面积为值范围是___________.
例题5.27 已知|a|=分析由公式cosq=同向共线这一情形.
变式1 设两个向量e1,e2，满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为实数t的范围.
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1，则α,β的夹角q的取22,|b|=1,a,b的夹角为450，求使向量a+lb与la+b的夹角为锐角的l的取值范围.
a×b可知，夹角q若为锐角，则cosq>0，即a?b|a|×|b|0，同时也应注意从以上结果中排除
p，若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角，求3变式2 已知a与b均为单位向量，其夹角为q，有下列四个命题：
p1:|a+b|>1畚q[0,2p3);p2:|a+b|>1畚q(2p3,p]; p:|a-b|>1畚q[0,p33);p:|a-b|>1畚q(p23,p];
其中的真命题是（ ） A．p1,p4 B．p1,p3 C．p2,p3 D.p2,p4
变式3 若向量a与b不共线，a坠b0,且c=a-(a×aa×b)b，则向量a与c的夹角为（ A．0 B．π6 C．π3 D.π2
三、平面向量的模长 求模长，用平方，|a|=a2.
例5.28 已知|a|=|b|=5，向量a与b的夹角为π3，求|a+b|,|a-b|.
变式1 已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a,b的夹角为600，则|a-b|=________.
变式2 已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|等于( ) A．1 B．2 C．5 D.6
变式3在DABC中，已知|uABuur|=3,|uBCuur|=4,?ABC600uuuACr求||.
例5.29已知向量a,b的夹角为1200,|a|=3,|a+b|=13,则|b|等于（ ）
A．5 B．4 C．3
D.1
7
） 变式1 已知向量a,b的夹角为450,|a|=1,|2a-b|=
变式2 已知|a|=|b|=2,(a+2b)?(a
10,则|b|= .
b)=-2，则a,b的夹角为________.
uuur2uuuruuuruuuruuuruuuur|AM|=（ ）变式3 设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC=16,|AB+AC|=|AB-AC|,则
A．8 B．4
例5.30 已知平面向量α,β(α构0,α
变式1 若a,b,c均为单位向量，且a?bA．
变式2 已知a,b为单位向量，a?bA．[
，则|a+b-c|的最大值为（ ） 0,(a-c)?(bc)?0|
C．2
D.1
β)，满足|β|=1，且α与β-α的夹角1200，则|α|的取值范围是______.
2-1 B．1 C．2 D.2
0，若向量c满足|c-a-b|，则|c|的取值范围是（ ）
2-1,2+1] B．[2-1,2+2] C．[1,2+1] D.[1,2+2]
uuuruuuuruuuruuuuruuuruuuruuuuruuuruuur1|OA|的取值范围是（ ）例5.31 在平面上，AB1^AB2,|OB1|=|OB2|=1,AP=AB1+AB2，若|OP|<，则2A．(0,
5] 2B．(57,]22
C．(57,2] D.(,2] 22uuur2uuur2|PA|+|PB|uuur2变式1 在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=（） |PC|A．2
B．4
C．5
D.10
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最有效训练题21（限时45分钟）
1.已知向量a=(1,1),2a+b=(4,2)，则向量a,b的夹角为（ ）.
A．
ππππ B． C． D. 6324/b,c^(a+b)，则c=（ ）
2.已知向量a=(1,2),b=(2,-3)，若向量c满足(c+a)/77777777A．(,) B．(-,) C．(,) D.(-,-)
933939933.已知向量a,b满足a?bA．0
B．20,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=（ ）
C．4
D.8
uuuruuur4.在直角梯形ABCD中，已知BC//AD,AB^AD,AB=4,BC=2,AD=4若P为CD的中点，则PAgPB=
（ ） A．-5
B．-4
C．4
D.5
02 5.已知向量a,b满足|b|=2,a与b的夹角为60，则b在a方向上的投影是_______. 6.已知a=(1,2),b=(1,1)，且a与a+λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________. 7.已知向量a=(3,1),b=(0,1),c=(k,3),若a+2b与c垂直，则k=_______.
uuuuruuuruuuuruuuruuuruuuur8.已知两点M=(-1,0),N=(1,0),且点P使NMgNP,PMgPN,MPgMN成公差为非负实数的等差数列.
（1）求点P的轨迹方程；
uuuuruuur（2）若θ为PM与PN的夹角，求θ的取值范围.
9.已知向量a=(2cosα,2sinα),b=(-sinα,cosα),x=a+(t2-3)b,
y=-ka+tb且xgy=0
（1）求函数k=f(t)的表达式；
f(t)的最大值与最小值.
（2）若t?[1,3]，求
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2024年全国高考数学·第21讲 平面向量的数量积
