2020年全国高考数学 第21讲 平面向量的数量积
考纲解读
理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
掌握数量积的坐标表示，会进行两个平面向量数量积的运算.
能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题及其他一些实际问题.
命题趋势探究
平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、求夹角、距离等是每年必考内容，单独命题时，以选择、填空题的形式出现，注意考查向量的运算及性质，高考中，与向量有关的解答题一般与其他内容相结合（如解析几何、三角函数、平面几何）进行考查，重在考查向量的工具性作用，向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，应引起重视.
将考查平面向量的数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数结合的解答题也是热点之一，每年高考分值一般保持在8分左右.
知识点精讲
一、平面向量的数量积
rrrrrr→r→r(1) 已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，∠AOB＝θ(0≤θ≤?)叫作向量a与b的夹角．记作a,b，并规rrrrrrrr?定a,b??0,??.如果a与b的夹角是，就称a与b垂直，记为a?b.
2rrrrrrrrrrrrrr(2) |a|| b|cos a,b叫作a与b的数量积(或内积)，记作a?b,即a?b＝| a|| b|cos a,b. rrrr规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量a与b垂直的充要条件是a?b=0.
rrrrrr两个非零向量a与b平行的充要条件是a?b＝?| a|| b|.
二、平面向量数量积的几何意义
rrrrrrrrrrrrr数量积a?b等于a的长度| a|与b在a方向上的射影| b|cos θ的乘积．即a?b＝| a|| b|cos θ.( b在a方向上的射
rrrrrrrra?ba?b影| b|cos θ?r;a在b方向上的射影| a|cosθ?r).
ab
1
三、平面向量数量积的重要性质 性质1 e?a?a?e?|a|cos?. 性质2 a?b?a?b?0.
性质3 当a与b同向时a?b?|a||b|；当当a与b反向时a?b?-|a||b|.
a?a?a2?|a|2或|a|=a2. 性质4 cos??a?b(a?0且b?0).
|a||b|性质5 |a?b|?|a||b|.
注利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题；利用性质3可以求向量长度；利用性质4可以求两向量夹角；利用性质5可解决不等式问题.
四、平面向量数量积满足的运算律 （1）a?b=b?a（交换律）；
（2）(?a)?b=?a?b?a?(?b)(?为实数）； （3）(a+b)?c=a?c?b?c（分配律）。
数量积运算法则满足交换律、分配律，但不满足结合律(a?b)?c?a(b?c)，不可约分
a?b=a?c?b?c.
五、平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a?b?x1x2+y1y2由此得到 （1） 若a=(x,y),则a?|a|?x+y或|a|?2222x2+y2；
uuur22（2） 设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间距离|AB|?(x2?x1)+(y2?y1) （3） 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),?是a与b的夹角，则cosq=1非零向量a,b,a?b的充要条件是x1x2+y1y2=0. ○
2由|cosq|=|○
2
x1x2+y1y2x+y2121x2+y222
x1x2+y1y2x12+y12x22+y2222|?1得(x1x2+y1y2)?(x1y12)|(x22+y22).
六、向量中的易错点
b|（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且|a祝（2）当a1当a1|a||b|.
0时，由a?b0不能推出b一定是零向量，这是因为任一与a垂直的非零向量b都有a?b0.
0时，且a?ba?c时，也不能推出一定有b=c，当b是与a垂直的非零向量，c是另一与a垂直的非零
向量时，有a?ba?c0，但b1c.
b)c（3）数量积不满足结合律，即(a坠般都是错误选项.
（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当a?b(b?c)a，这是因为(a×b)c是一个与c共线的向量，而(b×c)a是一个与
b)c不一定等于(b×c)a，即凡有数量积的结合律形式的选项，一a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(a×0且a?λb(λ0)（或a?b0，且a?λb(λ0))
题型归纳及思路提示
题型79 平面向量的数量积 思路提示
平面向量的数量积的计算有其定义式和坐标式，若告诉坐标或容易建立坐标系利用坐标计算，否则运用定义式.这里
要考虑将向量尽可能转化为共线或垂直. 一、平面向量的数量积 例5.19
（1）在Rt?ABC中，?C?90,AC?4,则AB?AC?（ ） A． -16 B. -8 C. 8 D.16
（2）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE?CB?________;DE?DC的最大值为___________. （3）在?ABC中，M是BC的中点AM=1，点P在AM上且满足AP?2PM，则PA?(PB?A．?
变式1 如图5-27所示，在平行四边形ABCD中，AP?0PC)等于 ( )
4444 B. ? C. D. 9339BD，垂足为P，且AP?3，则AP?AC=_____________.
A
D
O P B 图5-27
3
C 变式2 在?ABC中，AB?1,BC?
2,AC?3，若G为?ABC的重心，则AG?AC=_____________.
例5.20 如图5-28所示，在矩形ABCD中，AB?2,BC?2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若
AB?AF?C 2,则AE?BF的值是：_____________. F D E
A
图5-28
B
变式1 如图5-30所示在?ABC中，?BAC?120,AB?2,AC?1,D是边BC上一点，
0DC?2BD,则AD?BC?______________.
A B D 图5-30
C
变式2 如图5-31所示，在?ABC中，AD?AB,BC?3BD,|AD|?1,则AC?AD?____________.
A B D 图5-31
C
变式3 已知?ABC为等边三角形，AB=2.设点P，Q满足
AP??AB,AQ?(1??)AC,??R,若BQ?CP??3,则??（ ）. 2A．
1?21?10?3?221 B． C． D.
2222 4
例5.21 已知向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=1,|b|=2,|c|=
2,则a?bb?cc?a_____________.
变式1在?ABC中，若|AB|?3,|BC|?4,|AC|?6,则AB?BC?BC?CA?CA?AB=____________.
变式2 向量a,b,c满足a+b+c=0,且a^
变式3 设向量a,b,c满足a+b+c=0,且(a-b)^
例5.22 设a,b,c是单位向量且a?bA．?2 B.
变式1 已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a-c)?(b|b|=2,则|c|=______. b,|a|=1，c,a^b,若|a|=1,,则|a|2+|b|2+|c|2=_____________.
0,则(a-c)?(bc)的最小值为（ ）.
2
2?2 C. ?1 D.1?c)=0,则|c|的最大值是（ ）
A．1 B. 2 C.
2 D.
2 2变式2 若平面向量a,b满足|2a-b|?3，则a×b的最小值是：_____.
uuuruuur例5.23 在DABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则AB×AC=____________.
uuuruuur1变式1 设DABC，P0是边AB上一点，满足PAB,且对于边AB上任一点P，恒有PB壮PC0B=4则（ ） A. ?ABC
uuuruuur,PPC0B?0900 B. ?BAC900 C. AB=AC C. AC=BC
uuuruuuur变式2 点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则PA×PC1的取值范围是（ ）.
A.
[-1,-1111] B. [-,-] C. [-1,0] C. [-,0] 4242 5
2020年全国高考数学·第21讲 平面向量的数量积
