极点与极线背景下的高考试题
王文彬
（江西省抚州市第一中学 344000）
极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于
自然也会成为高考 高考考查 的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征， 因此在高考试题中必然会有所反
映，
试题的命题背景.
作为一名中学数学教师， 应当了解极点与极线的概念， 掌握有关极点与极线的基本性质， 只有这样，才能“识 破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律
1. 从几何角度看极点与极线
定义1如图1，设P是不在圆锥曲线上的一点，过
两条割线依次交圆锥曲线于四点
P点引
E,F,G,H，连接EH ,FG
交于N，连接EG, FH交于M，则直线MN为点P对应的极线. 若P为圆锥曲线上的点，则过 P点的切线即为极线.
由图1同理可知，PM为点N对应的极线，PN为点M所 对应的极线.因而将MNP称为自极三点形.设直线MN交圆锥曲线 于点A, B两点，贝U PA,PB恰为圆锥曲线的两条切线.
定理1（1）当P在圆锥曲线 上时，则点P的极线是曲线 在P点处的切线；
（2） 别为 A, B，则点P的极线是直线 AB（即切点弦所 在的直线）；
（3）
点 Q，则点P的极线是动点
当P在 外时，过点P作 的两条切线，设其切点分
当P在 内时，过点P任作一割线交 于代B,设 在代B处的切线交于
Q的轨迹.
定理2如图2，设点P关于圆锥曲线
①；反之，若有①成立，则称点 关于圆锥曲线
PA pg
的极线为 I，过点P任作一割线交 于A,B，交I于Q，则——
P,Q调和分割线段
AB，或称点
AQ BQ P（或点Q）
的调和共轭点为点 Q（或点P）.点P关于圆锥曲线 和共的调 轭点是一条直线，这条直线就是点 P的极线.
推论1如图2，设点P关于圆锥曲线 的调和共轭
2 1 1
点为点Q，则有 ------ ----- —②；反之，若有②成立，
PQ PA PB
则点P与Q关于调和共轭.
可以证明①与②是等价的.事实上，由①有
图2
2 1 1 PQ PA PB .
特别地，我们还有 推论
2如图3，设点
的中心，则有0R2 证明：设直线 P关于有心圆锥曲线 （设其中心为0）的调和共轭点为点 Q, PQ连线经过圆锥曲线 OQ，
PR PR
OP 反之若有此式成立，则点
PQ与 OP
OR OQ OR OQ OQ .反之由此式可推出
P与Q关于调和共轭.
的另一交点为R，贝U 空翌空，化简
RQ RQ OR2 OP
即可得
PR
，即
PR 点
RQ
RQ
P与Q关于调和共轭.
R
推论3如图4,代B圆锥曲线 的一条
图3
对称轴I上的两点(不在 上)，若A, B关于 调 和共轭，过B任作 的一条割线，交 于P,Q 两点，贝U PAB QAB .
证明：因 关于直线I对称，故在 上存在
P,Q的对称点P ,Q .若P与Q重合，则Q与P 也重合，
此时P,Q关于I对称，有 PAB QAB ; 若P与Q不重合，则Q与P也不重合，由于A, B 关于 调和共轭，故 代B为 上完全四点形 PQQP 的对边交点，即 Q在PA上，故AP,
AQ关于直线I 对称，也有 PAB QAB .
定理3(配极原则)点P关于圆锥曲线
的极线p经过点Q 点Q关于 的极线q经过点P ；直线p关于 的极点P在直线q上 直线q关于 的极 点Q在直线p上.
由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线 以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【
.
1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.
2. 从代数角度看极点与极线
定义 2 已知圆锥曲线 :Ax2 Cy2 2Dx 2Ey F 0，则称点P(x0, y0)和直线
■■■ I 1
1
I : Ax0x Cy0y D(x x0) E(y y0) F 0是圆锥曲线
事实上，在圆锥曲线方程中，以 到点P(x°,y°)的极线方程.
特别地：
2 2
的一对极点和极线.
■-/ —. . :. | 1 I,1
x0x替换X2，以一x替换x，以y0y替换y2，以辿_y替换y即可得
2 2
(1) 对于椭圆塔 1，与点P(x0, y0)对应的极线方程为~x°x ~y°y 1 ;
a b a b a b
y°y p(x°
1 ； x).
2 2
(2) 对于双曲线x^
a
(3) 对于抛物线y2 b
2 px，与点P(x0,y°)对应的极线方程为
X2 y2
2
2 1，当
1，与点P(x0,y°)对应的极线方程为—°2x
(4)如果圆锥曲线是椭圆
2 2
a b
P(x0,y0)为其焦点F(c,0)时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲
线是双曲线 x2 y2
a b
1，当P(x°,y°)为其焦点F(c,0)时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线
y2 2px，当P(x°,y°)为其焦点F( p ,0)时，极线恰为抛物线的准线
2
3. 从极点与极线角度看圆锥曲线试题
x
【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系 xOy中，如图，已知椭圆 一
2
2
1的左右顶点为代B , 5
9
y1 0, y2
0 ?
2
2
右焦点为F ?设过点T(t,m)的直线TA,TB与此椭圆分别交于点M (x“ yj, N(x2, y2),其中m 0 ,
(1)设动点P满足PF PB 4，求点P的轨迹;
⑵设％ 2, X2 1，求点T的坐标；
3
(3)设t 9 ,求证：直线 MN必过x轴上的一定点(其坐标与 m无关). 分析与解：前面两问比较简单，这里从略
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