内切球和外接球例题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
高考数学中的内切球和外接球问
题
一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题 例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .27?.
例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为
24，则该球的体积为______________.
43?.
2、求长方体的外接球的有关问题 例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .14?.
例4、（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）. C.
A. 16? B. 20? C. 24? D. 32?
3.求多面体的外接球的有关问题 例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱
的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱
9的体积为8，底面周长为３，则这个球
的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x，高
??6x?3,??x?193?x2h,??2,为h，则有??8?6?4??h?3． ∴
正六棱柱的底面圆的半径
r?12，球心到
d?3底面的距离
2.∴外接球的半径
R?r2?d2?1.?V球?4?3.
二、构造法(补形法)
1、构造正方体
例5 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为
3，则其外接球的表面积是
_______________.9?
解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成
一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R，则有
?2R?2??3?2??3?2??3?2?9.∴
R2?94.故其外接球的表面积
S?4?R2?9?.
小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为
a、b、c，则就可以将这个三棱锥补成
一个长方体，于是长方体的体对角线的
长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外
接球的半径为R，则有2R?a2?b2?c2.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【例题】：在四面体中，共
顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为
，若该四面体的四个顶点在一
个球面上，求这个球的表面积。
解：因为：长方体外接球的直径为
长方体的体对角线长所以：四面体外接
球的直径为
的长即：
所以球的
表面积为
例 6.一个四面体的所有棱长都为
2，四个顶点在同一球面上，则此球的
表面积为（ ）
A. 3? B. 4? C. 33? D.
6?
解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的
半径.在此，由于所有棱长都相等，我们
联想只有正方体中有这么多相等的线
段，所以构造一个正方体，再寻找棱长
相等的四面体，四面体A?BDE满足条件，即
AB=AD=AE=BD=DE?BE?2，由此可求得正方体的棱长为1，体对角线为
3，从而外接球的直径也为3，所以
此球的表面积便可求得，故选A. 例7．在等腰梯形ABCD中，
AB=2DC=2，?DAB=600，E为AB的
中点，将?ADE与?BEC分布沿ED、
EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为（ ）.
43A. 27?66 B. 2? C. 8? 6D. 24?
解析： 因为AE=EB=DC=1，
?DAB=?CBE=?DEA=600，所以
AD?AE=EB=BC=DC=DE=CE=1，即三
棱锥P-DCE为正四面体，至此，这与例
6就完全相同了，故选C.
例8 .已知球O的面上四点A、B、C、D，DA?平面ABC，AB?BC，
DA=AB=BC=3，则球O的体积等
于 . 解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于
DA?平面ABC，AB?BC，联想长方
体中的相应线段关系，构造长方体，又因为DA=AB=BC=3，则此长方体为正方体，所以CD长即为外接球的直径，
利用直角三角形解出CD=3.故球O的体
9积等于2?.
2、构造长方体
例9.已知点A、B、C、D在同一个球面上，AB?平面BCD，BC?DC，若AB?6,AC=213,AD=8，则球的体积是 . 解析：首先可联想到例8，构造下
面的长方体，于是AD为球的直径，O
为球心，OB=OC=4为半径，要求B、C两点间的球面距离，只要求出?BOC即可，在Rt?ABC中，求出BC=4，所以
?BOC=600，故B、C两点间的球面距
4离是3?.
三.多面体几何性质法
例1 0.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A.16? B.20? C.24? D.32?
解 设正四棱柱的底面边长为x，外
接球的半径为R，则有
4x2?16，解得x?2.
∴
2R?22?22?42?26, ?R?6.∴
这个球的表面积是4?R2?24?.选C.小
结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.
四.寻求轴截面圆半径法
例11.正四棱锥S?ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点
S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为 . 解 设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心为O，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得OO1?平面ABCD.
又SO1?平面ABCD，∴球心O必在
SO1所在的直线上.
∴?ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在?ASC中，由
SA?SC?2，AC?2，得
SA2?SC2?AC2.∴
AC?ASC是以AC为斜边的Rt?.∴2?1是
外接圆的半径，也是外接球的半径.故
V球?4?3.
五 .确定球心位置法
例11.在矩形ABCD中，
AB?4,BC?3，沿AC将矩形ABCD折
成一个直二面角B?AC?D，则四面体
ABCD的外接球的体积为
125
SA.12? 125
DCB.9? O1A图3B125C.6? 125
D.3?
解 设矩形对角线的交点为O，则由矩形对角线互相平分，可知
OA?OB?OC?OD.∴点O到四面体的四个顶点A、B、C、D的距离相等，即点O为四面体的外接球的球心，∴外接
内切球和外接球例题
