根据题意以及对数的运算性质得出F?x??log2?x???1??2?，进而可由基本不等式可得出x?1x??2?4，从而可得出函数F?x?的值域. x【详解】
由题意，F?x??2f?x?1??f?x??2log2?x?1??log2x，
x2?2x?11???log2?x??2?， 即F?x??log2xx??由题意知，x?0，由基本不等式得x?所以x?11?2x??2（当且仅当x?1时取等号）， xx11???2?4（当且仅当x?1时取等号），即log2?x??2??log24?2，
xx??所以F?x?的值域为?2,???. 故答案为：?2,???. 【点睛】
本题考查了函数值域的定义及求法，对数的运算性质，基本不等式的运用，考查了计算能力，属于基础题.
16．【解析】【分析】先求出函数的定义域找出内外函数根据同增异减即可求出【详解】由解得或所以函数的定义域为令则函数在上单调递减在上单调递增又为增函数则根据同增异减得函数单调递减区间为【点睛】复合函数法：复 解析：(??,?1)
【解析】 【分析】
先求出函数的定义域，找出内外函数，根据同增异减即可求出. 【详解】
2由x2?5x?6?0，解得x?6或x??1，所以函数y?log2(x?5x?6)的定义域为
(??,?1)U(6,??).令u?x2?5x?6，则函数u?x2?5x?6在???,?1?上单调递减，
在?6,???上单调递增，又y?log2u为增函数，则根据同增异减得，函数
y?log2(x2?5x?6)单调递减区间为(??,?1).
【点睛】
复合函数法：复合函数y?fg(x)的单调性规律是“同则增，异则减”，即y?f(u)与
??u?g(x)若具有相同的单调性，则y?f?g(x)?为增函数，若具有不同的单调性，则
y?f?g(x)?必为减函数．
17．【解析】【分析】先利用已知求出的值再求点D的坐标【详解】由图像可
知点在函数的图像上所以即因为点在函数的图像上所以因为点在函数的图像上所以又因为所以点的坐标为故答案为【点睛】本题主要考查指数对数和幂函
?11?解析：?,?
?24?【解析】 【分析】
先利用已知求出xA,xB，yC的值，再求点D的坐标. 【详解】
由图像可知，点A?xA,2?在函数
y?log22x的图像上，所以
2?log22xA，即
?2?1xA???2???2.
??因为点B?xB,2?在函数y?x2的图像上，所以2?x2，xB?4.
B112?2??2?1y??因为点C?4,yC?在函数y??的图像上，所以. ?C?2???2??4????又因为xD?xA?x411，yD?yC?， 24?11?,?. 2?4?所以点D的坐标为?故答案为?【点睛】
?11?,? 2?4?本题主要考查指数、对数和幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．【解析】【分析】根据整个函数值域为R及分段函数右段的值域可判断出左段的函数为单调性递增且最大值大于等于1即可求得的取值范围【详解】当时此时值域为若值域为则当时为单调递增函数且最大值需大于等于1即解得
?1?解析：?0,?
?2?【解析】 【分析】
根据整个函数值域为R及分段函数右段的值域,可判断出左段的函数为单调性递增,且最大值大于等于1,即可求得a的取值范围. 【详解】
当x?1时,f?x??2x?1,此时值域为1,??? ?若值域为R,则当x?1时.f?x???1?2a?x?3a为单调递增函数,且最大值需大于等于1
?1?2a?01,解得0?a? 即?2?1?2a?3a?1故答案为:?0,? 【点睛】
本题考查了分段函数值域的关系及判断,指数函数的性质与一次函数性质的应用,属于中档题.
?1??2?19．【解析】因为所以所以故填 解析：15 【解析】
因为3m?5n?k，所以m?log3k，n?log5k，
11lg5lg3lg15?????2，所以mnlgklgklgklgk?1lg15?lg15，k?15，故填15 220．【解析】【分析】由函数是奇函数得到即可求解得到答案【详解】由题意函数是奇函数所以解得当时函数满足所以故答案为：【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键
1解析：?
2【解析】 【分析】
由函数f?x?是奇函数，得到f?0??【详解】
由题意，函数f?x??当a??1?a?0，即可求解，得到答案. 20?1111a???af0??a?0是奇函数，所以，解得， ??2x?120?12111?满足f??x???f?x?， 时，函数f?x??x2?1221. 21. 2所以a??故答案为：?【点睛】
本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题，其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
三、解答题
21．（1）a??1（2）m??2 【解析】 【分析】
（1）根据奇函数性质f(?x)??f(x)和对数的运算性质即可解得； （2）根据对数函数的单调性即可求出. 【详解】
解：（1）∵函数f(x)的图象关于原点对称， ∴函数f(x)为奇函数， ∴f(?x)??f(x)， 即log13?ax?2ax?22?x??log1?log1， 2?x2?xax?233?ax?22?x4-a2x2??，即=1 22?xax?24-x解得：a??1或a?1， 当a?1时，f(x)?log13x?2?log1??1?，不合题意； 2?x32?x?log1(x?2)?log1(2?x)， x?233故a??1；
（2）f(x)?log1(x?2)?log133∵函数
y?log1(2?x)为减函数，
3∴当x?7时，
log1(2?x)?log1(2?7)??2，
33
∵x?(7,??)时，∴m??2. 【点睛】
f(x)?log1(x?2)?m恒成立，
3本题主要考查函数的奇偶性和单调性，函数恒成立的问题，属于中档题. 22．（1）m?40；（2）当第10天时，该商品销售收入最高为900元． 【解析】 【分析】
（1）利用分段函数，直接求解f(20)g(20)?600．推出m的值．（2）利用分段函数分别求解函数的最大值推出结果即可． 【详解】
（1）销售价格f(x)??常数），
当x=20时，由f(20)g(20)?(50?20)(m?20)?600，
?20?x,1?x?15,第x天的销售量（单位：件）g(x)?m?x(m为x30,?50?x,15剟解得m?40．
（2）当1?x?15时，y?(20?x)(40?x) ??x2?20x?800??(x?10)2?900，
故当x?10时，ymax?900，
x30时，y?(50?x)(40?x)?x2?90x?2000?(x?45)2?25， 当15剟故当x?15时，ymax?875，
因为875?900，故当第10天时，该商品销售收入最高为900元． 【点睛】
本题考查利用函数的方法解决实际问题，分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
23．（1）奇函数，证明见解析；（2）0?m?15 【解析】 【分析】
（1）先求出函数定义域，再利用函数奇偶性的定义判断即可；
x?1m?m?0??0（2）由题意，对?x??2,4?恒成立，转化为?x?1(x?1)(7?x)?m?(x?1)(7?x)恒成立，求出函数g?x???x?1??7?x?的最小值进而得解. 【详解】 （1）因为
x?1?0，解得x??1或x?1， x?1所以函数f?x?为奇函数，证明如下： 由（1）知函数f?x?的定义域关于原点对称，
?x?1x?1?x?1?又因为f(?x)?log2?log2?log2????f(x)， ?x?1x?1?x?1?所以函数f?x?为奇函数； （2）若对于x?2,4，f(x)?log2即log2?1??m恒成立，
(x?1)(7?x)x?1m?log2对x??2,4?恒成立， x?1(x?1)(7?x)x?1m??0对x??2,4?恒成立， 即
x?1(x?1)(7?x)因为x?2,4，所以x?1?即???m?0恒成立， 7?x?m?0恒成立，
m?(x?1)(7?x)?
2020-2021深圳翠园中学高中必修一数学上期末第一次模拟试题带答案
