几个分形得matlab实现
摘要:给出几个分形得实例,并用matlab编程实现方便更好得理解分形,欣赏其带来得数学
美感
关键字:Koｃh曲线 实验 图像 一、问题描述:
从一条直线段开始,将线段中间得三分之一部分用一个等边三角形得两边代替,形成山丘形图形如下
?图1
在新得图形中,又将图中每一直线段中间得三分之一部分都用一个等边三角形得两条边代替,再次形成新得图形如此迭代,形成Kocｈ分形曲线。 二、算法分析:
考虑由直线段(2个点)产生第一个图形(５个点)得过程。图1中,设与分别为原始直线段得两个端点,现需要在直线段得中间依次插入三个点,,。显然位于线段三分之一处,位于线段三分之二处,点得位置可瞧成就是由点以点为轴心,逆时针旋转60而得。旋转由正交矩阵
0
实现。
算法根据初始数据(与点得坐标),产生图1中5个结点得坐标、结点得坐标数组形成一个矩阵,矩阵得第一行为得坐标,第二行为得坐标……,第五行为得坐标。矩阵得第一列元素分别为5个结点得坐标,第二列元素分别为5个结点得坐标。
进一步考虑Kｏｃh曲线形成过程中结点数目得变化规律。设第次迭代产生得结点数为,第次迭代产生得结点数为,则与中间得递推关系为。 三、实验程序及注释:
p=［0 0;10 0］; %P为初始两个点得坐标,第一列为ｘ坐标,第二列为y坐标 n=2; %n为结点数
A=[cos(pi/３) —ｓin(pi/3);siｎ(ｐi/３) cos(pi/３)]; ％旋转矩阵 ｆor k＝1:4
ｄ=diｆf(p)/3; ％ｄｉff计算相邻两个点得坐标之差,得到相邻两点确定得向量 %则d就计算出每个向量长度得三分之一,与题中将线段三等分对应 m=4＊n-3; ％迭代公式
q=p(1:ｎ—1,:); %以原点为起点,前n—１个点得坐标为终点形成向量
p(5:4:m,:)=ｐ(2:n,:); %迭代后处于４k+１位置上得点得坐标为迭代前得相应坐标 p(2:4:m,:)=q+d; %用向量方法计算迭代后处于４k+２位置上得点得坐标 p(3:4:m,:)=ｑ+d+ｄ＊A'; %用向量方法计算迭代后处于4ｋ＋3位置上得点得坐标 p(4:４:m,:)＝ｑ＋2*d; %用向量方法计算迭代后处于4k位置上得点得坐标 n=m; %迭代后新得结点数目 end
pｌot(ｐ(:,1),p(:,２)) ％绘出每相邻两个点得连线 aｘis([0 10 ０ 10])
四、实验数据记录:
由第三部分得程序,可得到如下得Ｋoch分形曲线:
图２
五、注记:
1、参照实验方法,可绘制如下生成元得Koch 分形曲线:
图3
此时,旋转矩阵为:
程序与曲线如下:
p=[０ ０;10 ０]; %P为初始两个点得坐标,第一列为x坐标,第二列为y坐标 n＝2; %n为结点数 A=［０ —1;１ ０]; ％旋转矩阵 fｏr k＝１:4
d=ｄiff(p)／3; ％diff计算相邻两个点得坐标之差,得到相邻两点确定得向量 %则d就计算出每个向量长度得三分之一,与题中将线段三等分对应 m＝5＊n—4; %迭代公式
q=p(1:n—１,:); ％以原点为起点,前ｎ-１个点得坐标为终点形成向量
p(６:５:m,:)=p(2:n,:); ％迭代后处于5ｋ+1位置上得点得坐标为迭代前得相应坐标 p(２:5:m,:)＝ｑ+ｄ; ％用向量方法计算迭代后处于5ｋ+2位置上得点得坐标 p(3:5:m,:)=q+d+d＊A'; ％用向量方法计算迭代后处于5k＋3位置上得点得坐标 p(4:5:m,:)=ｑ+2＊d+d＊A＇; ％用向量方法计算迭代后处于５k+4位置上得点得坐标 p(5:5:ｍ,:)=q＋2＊ｄ; ％用向量方法计算迭代后处于５k位置上得点得坐标 n＝m; %迭代后新得结点数目 enｄ
plｏt(p(:,1),p(:,２)) ％绘出每相邻两个点得连线 ａｘis(［0 10 0 1０])
?图4
由于中间三分之一部分就是一个正方形时,有很多连接得部分。所以我们将高度压缩到原来得0。7倍,即中间部分为一个长与宽之比为
1:0。7得矩形时,得到程序与曲线如下:
p=［０ ０;10 0]; ％P为初始两个点得坐标,第一列为x坐标,第二列为ｙ坐标 ｎ=2; %ｎ为结点数 Ａ=[0 -1;1 ０］; ％旋转矩阵 for ｋ=1:4
d=ｄiｆf(p)/3; %diff计算相邻两个点得坐标之差,得到相邻两点确定得向量 %则d就计算出每个向量长度得三分之一,与题中将线段三等分对应 m=5＊n-4; %迭代公式
q=ｐ(1:n－1,:); %以原点为起点,前n—1个点得坐标为终点形成向量
p(6:5:ｍ,:)=p(2:n,:); ％迭代后处于5k+１位置上得点得坐标为迭代前得相应坐标 ｐ(２:5:m,:)＝q+d; %用向量方法计算迭代后处于5k+２位置上得点得坐标 p(3:５:m,:)=ｑ+d+０、7＊d＊A＇; ％用向量方法计算迭代后处于５ｋ＋3位置上得点得坐标
p(4:5:ｍ,:)=q＋2*ｄ+0、7＊d*Ａ'; ％用向量方法计算迭代后处于5ｋ＋4位置上得点得坐标
p(5:5:m,:)=q+2＊d; ％用向量方法计算迭代后处于5k位置上得点得坐标 n=ｍ; ％迭代后新得结点数目 end
ｐlot(p(:,1),p(:,2)) %绘出每相邻两个点得连线 axis([0 １0 0 10］)
图５
２.参照实验方法,我们由四边形得四个初始点出发,对于四边形得每条边,生成元如下:
图6
可得到火焰般得图形、 程序与曲线如下:
p=[０ １０;10 0;0 －10;—１０ ０;０ 1０];
%P为四边形四个顶点得坐标,其中第五个点与第一个点重合,以便于绘图 %第一列为ｘ坐标,第二列为y坐标 n=５; ％ｎ为结点数 度 for k=1:5
d=ｄiff(p)/3;m＝4＊n-3; %迭代公式
ｑ＝p(１:ｎ—１,:); p(５:４:ｍ,:)＝p(2:n,:); ｐ(２:4:m,:)＝q+d;
ｐ(3:4:ｍ,:)=ｑ＋2＊d+d＊A＇; p(４:4:m,:)＝q+2*ｄ; ｎ=m; end
plｏt(ｐ(:,1),p(:,2)) axｉｓ(［－10 １0 -１0 １０］)
Ａ=[cos(—pi/３) -sin(—ｐｉ/3);sin(—pi／3) coｓ(-pｉ/3)］; ％旋转矩阵,顺时针旋转60
图7
3.参照实验方法,由下列得生成元,绘制Koｃh分形曲线:
图8
分析:为了绘图方便,我们将结点数处理一下,把第一次迭代产生得六个点瞧成十个点,即图中有五条线段(1—２,3－４,５—６,７—8,９—10),我们将每条线段得每个端点瞧成新得两个结点,这样我们就可以很方便地用pｌot绘图了。 程序与曲线如下:
p=[0 ０;1０ 10]; ％P为初始两个点得坐标,第一列为x坐标,第二列为y坐标 n=２; ％n为结点数
A＝[cos(pｉ／3) －sin(pi／3);sin(pi/3) ｃos(pi/３)］; B＝［ｃos(-pｉ/３) -siｎ(－pi／3);sｉｎ(—pi/3) cos(－pi/3)]; fｏr k=１:4 d=diff(p)／3;
ｄ１=d(1:2:n,:);％取每条线段对应得向量 ｍ=5＊ｎ; %迭代公式 q１＝p(1:２:n－1,:); p(1０:１0:m,:)=ｐ(2:2:n,:); 标
p(2:10:m,:)=q1+d1;
%用向量方法计算迭代后处于10k+2,10k+3,10k+5位置上得点得坐标,都相同 p(３:10:m,:)=p(2:10:m,:);
ｐ(4:１0:ｍ,:)=ｑ1＋ｄ1+ｄ１＊A'; ％用向量方法计算迭代后处于１０ｋ+4位置上得点得坐标
ｐ(5:１0:m,:)＝p(2:1０:m,:);
％旋转矩阵A对应于第一次逆时针旋转６0度,旋转矩阵B对应于第二次顺时针旋转6０度
p(１:10:m,:)=p(1:2:n,:); %迭代后处于10k与10k+1位置上得点得坐标为迭代前得相应坐
几个分形的matlab实现
