人教版高中数学选修2-1教学设计
1.1.3 四种命题间的相互关系
一、学习内容、要求及建议
知识、方法 命题四种形式 要求 了解 建议 从初中所学的命题入手，通过实例说明四种命题形式的客观存在，体会研究四种命题形式的必要性；利用熟悉的命题理解四种命题的关系，避免抽象的讨论． 必要条件、充分条件、充要条件 理解 二、预习指导
1．预习目标
(1)了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系． (2)感悟四种命题真假性的判断方法：直接判断、利用等价性判断．
(3)理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；会判断充分条件、必要条件与充要条件． (4)感悟和体会判断充分条件、必要条件与充要条件的方法：直接利用定义、利用命题的真假性、利用关系结构图、利用集合知识．
2．预习提纲
(1)什么叫命题?两个命题怎样才能成为互逆命题? (2)四种命题之间的相互关系你会用图来表示吗?
(3)充分条件、必要条件与充要条件的意义：如果p ? q，那么p是q的_________，q是p的___________；如果p ?q，那么p是q的__________． (4)阅读课本第5页至第9页内容，并完成课后练习．
(5)结合课本第6页的例1，学会写出命题的逆命题、否命题与逆否命题；结合课本第6页的例2，体会判断命题、逆命题、否命题与逆否命题真假的方法；结合课本第7页的例1，感悟和体会判断充分条件、必要条件与充要条件的方法．
(6)请小结四种命题真假性的判断方法以及充分条件、必要条件与充要条件的判断方法，并与同学交流．
3．典型例题
(1)如何判断一个命题的真假?
例1 判断下列语句是不是命题?若是，判断其真假，若不是，请说明理由．
① x2－5x+6=0；
② 当x=4时，2x<0；
③ 垂直于同一条直线的两条直线必平行吗? ④ 一个数不是合数就是质数；
⑤ 求证：若x∈R，方程x2+x+1=0无实根．
分析：可以判断真假的语句叫做命题，命题非真即假，二者必居其一．对于不含逻辑联结词的简单命题，可直接判断其真假．
解:①不是命题，因为语句中含有变量x，在不给定变量的值之前，我们无法确定该语句的
真假(这种含有变量的语句叫“开语句”)；
②是命题，它是能作出真假判断的语句，它是一个假命题；
③不是命题，因为没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，疑问句不
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是命题；
④是命题，假命题，因为数1既不是质数也不是合数； ⑤不是命题，它是祈使句，没有作出判断．
点评：开语句、疑问句、祈使句、感叹句都不是命题． (2)如何写出四种命题，它们的真假关系如何?
例2 已知命题:有一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形．请判断这个命题和它的否命题的真假．
分析：我们先要把命题写成为“若p则q”的形式，然后写出命题的逆命题、否命题与逆否命题．
解：等腰梯形的一组对边平行，另一组对边相等，但等腰梯形不是平行四边形，故原命题是假命题．又平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等，即逆命题是真命题，据逆命题和否命题的等价性知，否命题是真命题．
点评：直接举反例可知原命题为假命题．而否命题的真假难判定，则通过判定其等价命题－－逆命题的真假来推得结论．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价命题，它们同真或同假．
例3 原命题“若xy=1，则x，y互为倒数”，请写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．
分析：因为互为逆否命题的两个命题同真或同假，所以要判断四种命题的真假，只需判断其中两个的真假，然后利用等价性得到另两个命题的真假． 解：原命题“若xy=1，则x，y互为倒数”是真命题，
逆否命题：“若x，y不互为倒数，则xy≠1”，
因为原命题与逆否命题是等价命题，它们同真或同假，所以逆否命题是真命题； 逆命题：“若x，y互为倒数，则xy=1”，是真命题， 否命题：“若xy≠1，则x，y不互为倒数”，
因为逆命题与否命题是等价命题，它们同真或同假，所以否命题是真命题． 因此原命题、逆命题、否命题、逆否命题都是真命题． 点评：本题是利用四种命题的关系判断四种命题的真假．
例4 已知p：x+y ≠3，q：x ≠1 或y ≠2，则p是q的________ 条件(填：充要、充分而不必要、必要而不充分、既不充分又不必要)． 解：∵p：x+y≠3，q：x ≠1 或y ≠2 ∴非p：x+y =3，非q：x =1 且y =2
当非q成立时，x =1 且y =2，则x+y =3，即非p成立，∴非q?非p；
但当非p成立时，非q不一定成立，如x=y=1．5时，x+y =3，非p成立，非q不成立，故：非p?非q．
∴p? q且q?p，p是q的充分而不必要条件． 点评：p、q都是否定性说法，考察命题“若p则q”、“若q则p”的真假性较难，故先判断其逆否命题“若非q则非p”、 “若非p则非q” 的真假，再利用等价性判断命题“若p则q”、“若q则p”的真假，从而判断条件的充要性．
例5 已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么，
(1) s是q的什么条件； (2) r是q的什么条件； (3) p是q的什么条件． 解：据题意
(1)s是q的充要条件；
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(2)r是q的充要条件； (3)p是q的必要条件．
点评：这是多条件的充分条件、必要条件、充要条件的关系判定，应根据定义，考察p、q、r、s的互推关系，画出它们的关系结构图，再予以判定． 例6 已知p：1?x?1?2，q：：x2－2x + 1－m2≤0(m> 0)，若非p是非q的充分而不必要3条件，求实数m的取值范围．
解：由x2－2x+1－m2≤0，(m>0)得1－m≤x≤1＋m，
故非q：A＝{x|x> 1+m或x< 1－m，m> 0}，
由1?x?1?2，得－2≤x≤10， 3故非p： B＝{ x| x>10或x<－2}， ∵非p是非q的充分而不必要条件， ∴B?A． ∴???1?m??2且等号不能同时取，解得：m≤3，又m>0，∴ 0 1?m?10?∴实数m的取值范围是?0,3?． 点评：本例由“非p是非q的充分而不必要条件”得“非p?非q但非q?\\非p”，然后借助集 合间关系求得m的取值范围．本题也可用四种命题的关系，将已知条件等价转化为“q?p且p?\\q”，然后求解．请再用等价转化的思想解答本例． (3)相关的证明问题的处理： ①要证明p是q的充分不必要条件，只要证明“若p则q”为真，而“若q则p”为假； ②要证明p是q的必要不充分条件，只要证明“若q则p”为真，而“若p则q”为假； ③要证明p是q的充要条件，只要证明“若p则q”与 “若q则p”都为真，即：对于充要条件的证明，一般分充分性和必要性两种情况分别加以证明，缺一不可； ④要证明p是q的既不充分又不必要条件，只要说明“若p则q”与“若q则p”都为假． 例7 方程ax2+2x+1=0(a≠0)至少有一负实根的充要条件是_____． 分析：由a≠0知方程是一元二次方程，方程至少有一负根包括两种情形：有一非负根和一负根、有两个负根，应分类讨论． 解：将x=0代入原方程，得1=0，不合题意，因此方程无零根． (1)方程有一正根和一负根?1?0?a?0； a????4?4a?0??2?0?a?1． (2)方程有两个负根????0a??1?0??a 3
高中数学选修2-1精品教案2：1.1.3 四种命题间的相互关系教学设计
