1.4.2 含有一个量词的命题的否定
学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.
知识点一 全称命题与特称命题的否定 思考1 写出下列命题的否定: ①所有的矩形都是平行四边形; ②有些平行四边形是菱形.
答案 ①并非所有的矩形都是平行四边形. ②每一个平行四边形都不是菱形.
思考2 对①的否定能否写成:所有的矩形都不是平行四边形? 答案 不能.
思考3 对②的否定能否写成:有些平行四边形不是菱形? 答案 不能.
命题 全称命题p
全称命题的否定?p 特称命题p 特称命题的否定?p 常见的命题的否定形式有: 原语句 否定 形式 知识点二 含有一个量词的命题p的否定真假性判断
对“含有一个量词的命题p的否定”的真假判断一般有两种思路:一是直接判断?p的真假,二是用p与?p的真假性相反来判断.
是 都是 > 至少 有一个 一个 也没有 至多 有一个 至少 有两个 对任意x∈A 使p(x)真 存在x0∈A 使p(x0)为假 ?x0∈M,?p(x0) ?x0∈M,p(x0) ?x∈M,?p(x) 命题的表述 ?x∈M,p(x) 不是 不都是 ≤
类型一 全称命题的否定
例1 写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)p:任意n∈Z,则n∈Q; (2)p:等圆的面积相等,周长相等; (3)p:偶数的平方是正数.
解 (1)?p:存在n0∈Z,使n0?Q,这是假命题.
(2)?p:存在等圆,其面积不相等或周长不相等,这是假命题. (3)?p:存在偶数的平方不是正数,这是真命题.
反思与感悟 (1)写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论,把全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得到命题的否定.
(2)有些全称命题省略了量词,在这种情况下,千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”.
跟踪训练1 写出下列全称命题的否定: (1)p:所有能被3整除的整数都是奇数; (2)p:对任意x∈Z,x2的个位数字不等于3; (3)p:数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数; (4)p:可以被5整除的整数,末位是0.
解 (1)?p:存在一个能被3整除的整数不是奇数. (2)?p:?x0∈Z,x20的个位数字等于3. (3)?p:数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数. (4)?p:存在被5整除的整数,末位不是0.
类型二 特称命题的否定
例2 写出下列特称命题的否定: (1)p:?x0∈R,x20+2x0+2≤0; (2)p:有的三角形是等边三角形; (3)p:有一个素数含三个正因数. 解 (1)?p:?x∈R,x2+2x+2>0. (2)?p:所有的三角形都不是等边三角形. (3)?p:每一个素数都不含三个正因数.
反思与感悟 与全称命题的否定的写法类似,要写出特称命题的否定,先确定它的存在量词,再确定结论,然后把存在量词改写为全称量词,对结论作出否定就得到特称命题的否定. 跟踪训练2 写出下列命题的否定,并判断其真假: (1)至少有一个实数x0,使得x20+2x0+5=0; (2)存在一个平行四边形,它的对角线互相垂直; (3)存在一个三角形,它的内角和大于180°; (4)存在偶函数为单调函数.
解 (1)命题的否定:对任意x∈R,都有x2+2x+5≠0,是真命题.
(2)命题的否定:对于任意的平行四边形,它的对角线都不互相垂直,是假命题. (3)命题的否定:对于任意的三角形,它的内角和小于或等于180°,是真命题. (4)命题的否定:所有的偶函数都不是单调函数,是真命题. 类型三 全称命题与特称命题的应用
例3 (1)已知命题p:?x0∈R,x2则实数a的取值范围是0+2ax0+a≤0.若命题p是假命题,________. 答案 (0,1)
2解析 方法一 若命题p:?x0∈R,x20+2ax0+a≤0是真命题,得Δ=(2a)-4a≥0,
即a(a-1)≥0, 若命题p是假命题,则a(a-1)<0,解得0 方法二 依题意,命题?p:?x∈R,x2+2ax+a>0是真命题,得Δ=(2a)2-4a<0,即a(a-1)<0,解得0 (2)已知命题p(x):sin x+cos x>m,q(x):x2+mx+1>0.如果对?x∈R,p(x)为假命题且q(x)为真命题,求实数m的取值范围. 解 由于命题p(x):对?x∈R,sin x+cos x>m是假命题, 则?p(x):?x0∈R,sin x0+cos x0≤m是真命题, π x+?∈[-2,2], 因为sin x+cos x=2sin??4?所以m≥- 2即可. 由于q(x):?x∈R,x2+mx+1>0为真命题, 即对于?x∈R,x2+mx+1>0恒成立, 有Δ=m2-4<0,所以-2 所以实数m的取值范围是{m|-2≤m<2}. 反思与感悟 (1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题,全称命题为真时,意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质,所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质;也可以根据函数等数学知识来解决.
1.4.2 含有一个量词的命题的否定
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)