1.4.2 含有一个量词的命题的否定
学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.
知识点一 全称命题与特称命题的否定 思考1 写出下列命题的否定： ①所有的矩形都是平行四边形； ②有些平行四边形是菱形.
答案 ①并非所有的矩形都是平行四边形. ②每一个平行四边形都不是菱形.
思考2 对①的否定能否写成：所有的矩形都不是平行四边形？ 答案 不能.
思考3 对②的否定能否写成：有些平行四边形不是菱形？ 答案 不能.
命题 全称命题p
全称命题的否定?p 特称命题p 特称命题的否定?p 常见的命题的否定形式有： 原语句 否定 形式 知识点二 含有一个量词的命题p的否定真假性判断
对“含有一个量词的命题p的否定”的真假判断一般有两种思路：一是直接判断?p的真假，二是用p与?p的真假性相反来判断.
是 都是 > 至少 有一个 一个 也没有 至多 有一个 至少 有两个 对任意x∈A 使p(x)真 存在x0∈A 使p(x0)为假 ?x0∈M，?p(x0) ?x0∈M，p(x0) ?x∈M，?p(x) 命题的表述 ?x∈M，p(x) 不是 不都是 ≤
类型一 全称命题的否定
例1 写出下列命题的否定，并判断其真假. (1)p：任意n∈Z，则n∈Q； (2)p：等圆的面积相等，周长相等； (3)p：偶数的平方是正数.
解 (1)?p：存在n0∈Z，使n0?Q，这是假命题.
(2)?p：存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题. (3)?p：存在偶数的平方不是正数，这是真命题.
反思与感悟 (1)写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定.
(2)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”.
跟踪训练1 写出下列全称命题的否定： (1)p：所有能被3整除的整数都是奇数； (2)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3； (3)p：数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数； (4)p：可以被5整除的整数，末位是0.
解 (1)?p：存在一个能被3整除的整数不是奇数. (2)?p：?x0∈Z，x20的个位数字等于3. (3)?p：数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数. (4)?p：存在被5整除的整数，末位不是0.
类型二 特称命题的否定
例2 写出下列特称命题的否定： (1)p：?x0∈R，x20＋2x0＋2≤0； (2)p：有的三角形是等边三角形； (3)p：有一个素数含三个正因数. 解 (1)?p：?x∈R，x2＋2x＋2>0. (2)?p：所有的三角形都不是等边三角形. (3)?p：每一个素数都不含三个正因数.
反思与感悟 与全称命题的否定的写法类似，要写出特称命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到特称命题的否定. 跟踪训练2 写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)至少有一个实数x0，使得x20＋2x0＋5＝0； (2)存在一个平行四边形，它的对角线互相垂直； (3)存在一个三角形，它的内角和大于180°； (4)存在偶函数为单调函数.
解 (1)命题的否定：对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0，是真命题.
(2)命题的否定：对于任意的平行四边形，它的对角线都不互相垂直，是假命题. (3)命题的否定：对于任意的三角形，它的内角和小于或等于180°，是真命题. (4)命题的否定：所有的偶函数都不是单调函数，是真命题. 类型三 全称命题与特称命题的应用
例3 (1)已知命题p：?x0∈R，x2则实数a的取值范围是0＋2ax0＋a≤0.若命题p是假命题，________. 答案 (0,1)
2解析 方法一 若命题p：?x0∈R，x20＋2ax0＋a≤0是真命题，得Δ＝(2a)－4a≥0，
即a(a－1)≥0, 若命题p是假命题，则a(a－1)<0，解得0 方法二 依题意，命题?p：?x∈R，x2＋2ax＋a>0是真命题，得Δ＝(2a)2－4a<0，即a(a－1)<0，解得0 (2)已知命题p(x)：sin x＋cos x>m，q(x)：x2＋mx＋1>0.如果对?x∈R，p(x)为假命题且q(x)为真命题，求实数m的取值范围. 解 由于命题p(x)：对?x∈R，sin x＋cos x>m是假命题， 则?p(x)：?x0∈R，sin x0＋cos x0≤m是真命题， π x＋?∈[－2，2]， 因为sin x＋cos x＝2sin??4?所以m≥－ 2即可. 由于q(x)：?x∈R，x2＋mx＋1>0为真命题， 即对于?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立， 有Δ＝m2－4<0，所以－2 所以实数m的取值范围是{m|－2≤m<2}. 反思与感悟 (1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决.
1.4.2 含有一个量词的命题的否定
