令,
则
当即
时,
最大,此时
时,视角最大.
最小,此时最大.
练习3.某小区拟对如图一直角△ABC区域进行改造,在三角形各边上选一点连成等边三角形△DEF,在其内建造文化景观。已知AB?20m,AC?10m,则△DEF面积最小值为____
【答案】7537
【解析】因为AB?20m,AC?10m,所以BC?202?102?103m, 显然,?B??6,?A??3,
设DE?x,?CED??,则?EFB??CEF??B?则CE?xcos?,所以BE?103?xcos?,
?3????6????6,且0????2,
103?xcos?在?BEF中,由正弦定理可得:
sin(??)6??xsin?,
6求得x?103103?,
2cos??3sin?7sin(???)其中cos???2127,则0???, ,sin??277?2时,sin(???)取得最大值1,
16
因为0??????,所以当????原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
则x的最小值为1021, 723?1021?753S?????4?7?7??所以面积最小值为
(六)三角函数的综合应用
例6. 如图是一个半径为2千米,圆心角为的扇形游览区的平面示意图是半径一点,且段
处每千米为
.现在线段元,线段
,线段及圆弧
及圆弧
上一点,是圆弧
上
三段所示位置设立广告位,经测算广告位出租收入是:线
弧度,广告位出租的总收入为元.
处每千米均为元.设
(1)求关于的函数解析式,并指出该函数的定义域;
(2)试问:为何值时,广告位出租的总收入最大?并求出其最大值. 【答案】(1)
元.
【解析】(1)因为在
中,
,所以,
,
. . ;(2)当
时,广告位出租的总收入最大,最大值为
由正弦定理,得得又圆弧所以
.
(2)记
,
长为
,
,
.
,
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则令
,得
,.
的变化如下表:
,
当变化时,
所以故当
在处取得极大值,这个极大值就是最大值,即
元.
.
时,广告位出租的总收入最大,最大值为
练习1. 某地拟在一个U形水面PABQ(∠A=∠B=90°)上修一条堤坝(E在AP上,N在BQ上),围出一个封闭区域EABN,用以种植水生植物.为了美观起见,决定从AB上点M处分别向点E,N拉2条分隔线ME,MN,将所围区域分成3个部分(如图),每部分种植不同的水生植物.已知AB=a,EM=BM,∠MEN=90°,设所拉分隔线总长度为l.
(1)设∠AME=2θ,求用θ表示的l函数表达式,并写出定义域; (2)求l的最小值.
【答案】(1)l=,θ∈(0,);(2)lmin=2a.
【解析】(1)∵EM=BM,∠B=∠MEN,∴△BMN≌△EMN,∴∠BNM=∠MNE, ∵∠AME=2θ,∴∠BNM=∠MNE=θ,
设MN=x,在△BMN中,BM=xsinθ,∴EM=BM=xsinθ,∴△EAM中,AM=EMcos2θ=xsinθcos2θ, ∵AM+BM=a,∴xsinθcos2θ+xsinθ=a,
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∴x=∴l=EM+MN=
,
,θ∈(0,);
,sinθ∈(0,
),∴f(θ)≤,
(2)令f(θ)=sinθ(1-sinθ)
当且仅当θ=时,取得最大值,此时lmin=2a.
练习2.如图,某沿海地区计划铺设一条电缆联通A、B两地,A处位于东西方向的直线MN上的陆地处,B处位于海上一个灯塔处,在A处用测角器测得得
,在A处正西方向1km的点C处,用测角器测
,现有两种铺设方案:① 沿线段AB在水下铺设;② 在岸MN上选一点P,先沿线段AP
在地下铺设,再沿线段PB在水下铺设,预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km,4万元/km.
(1)求A、B两点间的距离;
(2)请选择一种铺设费用较低的方案,并说明理由. 【答案】(1)千米;(2)方案②,理由见详解. 【解析】(1)过点作又
,
于点,设,所以(km),
万元; ,
,所以,
,
,即
,因为,解得
,所以,所以
,
(km).
(2)由(1)可知
方案①:沿线段AB在水下铺设,总铺设费用为方案②:设在直角三角形则总铺设费用为
,则中,
,其中
,
设,则,令得,列表如下:
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单调递减 极小值 单调递增 所以的最小值为.
所以该方案的总铺设费用为,此时
.
而
,
所以应选择方案②进行铺设,点选择的正西方处,总铺设费用最低.
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专题04 三角函数的应用-名师揭秘2020年高考数学(理)一轮总复习之三角函数、三角形、平面向量(解析版)
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