令，
则
当即
时，
最大，此时
时，视角最大.
最小，此时最大.
练习3.某小区拟对如图一直角△ABC区域进行改造，在三角形各边上选一点连成等边三角形△DEF,在其内建造文化景观。已知AB?20m，AC?10m,则△DEF面积最小值为____
【答案】7537
【解析】因为AB?20m，AC?10m，所以BC?202?102?103m， 显然，?B??6,?A??3，
设DE?x,?CED??，则?EFB??CEF??B?则CE?xcos?，所以BE?103?xcos?，
?3????6????6，且0????2，
103?xcos?在?BEF中，由正弦定理可得：
sin(??)6??xsin?，
6求得x?103103?，
2cos??3sin?7sin(???)其中cos???2127，则0???， ,sin??277?2时，sin(???)取得最大值1，
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因为0??????，所以当????原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
则x的最小值为1021， 723?1021?753S?????4?7?7??所以面积最小值为
（六）三角函数的综合应用
例6. 如图是一个半径为2千米，圆心角为的扇形游览区的平面示意图是半径一点，且段
处每千米为
.现在线段元，线段
，线段及圆弧
及圆弧
上一点，是圆弧
上
三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线
弧度，广告位出租的总收入为元．
处每千米均为元．设
(1)求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；
(2)试问：为何值时，广告位出租的总收入最大？并求出其最大值． 【答案】（1）
元.
【解析】(1)因为在
中，
，所以，
，
. . ；（2）当
时，广告位出租的总收入最大，最大值为
由正弦定理，得得又圆弧所以
.
(2)记
，
长为
，
，
.
，
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则令
，得
，.
的变化如下表：
，
当变化时，
所以故当
在处取得极大值，这个极大值就是最大值，即
元．
.
时，广告位出租的总收入最大，最大值为
练习1. 某地拟在一个U形水面PABQ（∠A=∠B=90°）上修一条堤坝（E在AP上，N在BQ上），围出一个封闭区域EABN，用以种植水生植物．为了美观起见，决定从AB上点M处分别向点E，N拉2条分隔线ME，MN，将所围区域分成3个部分（如图），每部分种植不同的水生植物．已知AB=a，EM=BM，∠MEN=90°，设所拉分隔线总长度为l．
（1）设∠AME=2θ，求用θ表示的l函数表达式，并写出定义域； （2）求l的最小值．
【答案】（1）l=，θ∈（0，）；（2）lmin=2a．
【解析】（1）∵EM=BM，∠B=∠MEN，∴△BMN≌△EMN，∴∠BNM=∠MNE， ∵∠AME=2θ，∴∠BNM=∠MNE=θ，
设MN=x，在△BMN中，BM=xsinθ，∴EM=BM=xsinθ，∴△EAM中，AM=EMcos2θ=xsinθcos2θ， ∵AM+BM=a，∴xsinθcos2θ+xsinθ=a，
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∴x=∴l=EM+MN=
，
，θ∈（0，）；
，sinθ∈（0，
），∴f（θ）≤，
（2）令f（θ）=sinθ（1-sinθ）
当且仅当θ=时，取得最大值，此时lmin=2a．
练习2.如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A、B两地，A处位于东西方向的直线MN上的陆地处，B处位于海上一个灯塔处，在A处用测角器测得得
，在A处正西方向1km的点C处，用测角器测
，现有两种铺设方案：① 沿线段AB在水下铺设；② 在岸MN上选一点P，先沿线段AP
在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km，4万元/km.
（1）求A、B两点间的距离；
（2）请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由. 【答案】（1）千米；（2）方案②，理由见详解. 【解析】（1）过点作又
，
于点，设，所以(km)，
万元； ，
，所以，
，
，即
，因为，解得
，所以,所以
，
(km).
（2）由（1）可知
方案①：沿线段AB在水下铺设，总铺设费用为方案②：设在直角三角形则总铺设费用为
，则中，
，其中
，
设，则，令得，列表如下：
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单调递减 极小值 单调递增 所以的最小值为.
所以该方案的总铺设费用为，此时
.
而
，
所以应选择方案②进行铺设，点选择的正西方处，总铺设费用最低.
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专题04 三角函数的应用-名师揭秘2020年高考数学(理)一轮总复习之三角函数、三角形、平面向量(解析版)
