专题04三角函数的应用
一、本专题要特别小心：
1.图象的平移（把系数提到括号的前边后左加右减） 2. 图象平移要注意未知数的系数为负的情况
3. 图象的横坐标伸缩变换要注意是加倍还是变为几分之几 4.五点作图法的步骤 5.利用图象求周期 6.已知图象求解析式 二【学习目标】
1．理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性．
2．会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期． 3．理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题． 三．【方法总结】
1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致： (1)首先看定义域是否关于原点对称； (2)在满足(1)后，再看f(－x)与f(x)的关系.
另外三角函数中的奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式. 2.三角函数的单调性
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的确定，其基本思想是把ωx＋φ看作一个整体，比如：由ππ
2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间.
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若函数y＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＜0，可用诱导公式将函数变为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间. 对函数y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)等单调性的讨论同上.
(2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：①先判断正负；②利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；③再利用单调性比较. 3.求三角函数的最值常见类型：
(1)y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Atan(ωx＋φ)＋B， (2)y＝A(sin x－a)2＋B，
(3)y＝a(sin x±cos x)＋bsin xcos x(其中A，B，a，b∈R，A≠0，a≠0). 四．【题型方法】
（一）利用三角函数测量应用
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例1.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75?，30?，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于( )
A．30(3?1)m C．180(2?1)m 【答案】B
【解析】记A点正下方为O，
B．120(3?1)m D．240(3?1)m
由题意可得OA?60，?ABO?75o，?ACO?30o，
3OA3?2?3， ?tan75o?tan(45o?30o)?在?AOB中，由OB31?31?得到OB?60?60(2?3)；
2?3OC?3?tan30o?在?AOC中，由得到OC3OA60?603， 33所以河流的宽度BC等于OC?OB?603?60(2?3)?120(3?1)米. 故选B
练习1. 习总书记在十九大报告中指出：必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念.某市为贯彻落实十九
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大精神，开展植树造林活动，拟测量某座山的高.如图，勘探队员在山脚A测得山顶B的仰角为着倾斜角为
的斜坡向上走了40米后到达C，在C处测得山顶B的仰角为
，则山高
，他沿
约为______米.
（结果精确到个位，在同一铅垂面）.参考数据：.
【答案】
【解析】过C做CM⊥BD于M,CN⊥AD于N,设BM=h,则CM=h=20(
（二）与圆有关的三角函数应用
例2. 如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，?APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为
),∴BD=h+
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,解得
A．4β+4cosβ 【答案】B
B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ
【解析】观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，
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此时∠BOP=∠AOP=π-β, 面积S的最大值为??22?2?2?+S△POB+ S△POA=4β+
12|OP‖OB|sin(???)?12|OP‖OA|sin(???) ?4??2sin??2sin??4??4?sin?.
故选：B.
练习1．如图，四边形ABCD内接于圆O，若AB?1，AD?2，
3BC?3BDcos?DBC?CDsin?BCD，则S△BCD的最大值为（ ）
A．
72734 B．
74 C．4 D．
72 【答案】C
【解析】
做DE?CB于点E，BDcos?DBC?BE，CDsin?BCD?DE,
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3BC?3BDcos?DBC?CDsin?BCD?3BE?DE 3BC?3BE?DE?3(BC?BE)?3CE?DE
在直角三角形CDE中，可得到tan?DCE?DE??3??DCE?.根据该四边形对角互补得到CE32?DAB??
3在三角形ABD中，应用余弦定理得到BD?1?4?2?1?2?在三角形DCB中，
应用余弦定理以及重要不等式得到
1?7 7BD2?7?CD2?BC2?2BC?CD?2BC?CD?BC?CD?BC?CD
进而得到SVBCD?故答案为：C.
练习2.位于潍坊滨海的“滨海之眼”摩天轮是世界上最高的无轴摩天轮，该摩天轮的直径均为124米，中间没有任何支撑，摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要30分钟，当乘客乘坐摩天轮到达最高点时，距离地面145米，可以俯瞰白浪河全景，图中
与地面垂直，垂足为点，某乘客从处进入处的观景舱，顺时针转动
（ ）
13373 ?BC?CD???7?2244分钟后，第1次到达点，此时点与地面的距离为114米，则
A．16分钟 【答案】C
B．18分钟 C．20分钟 D．22分钟
【解析】根据题意，作，，如下图所示：
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