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【解析】
dy?2tln(2?t2)?t22tdt?2?t2t?1??2
dxdt?e?(1?t)2?(?1)t?1??1 所以 dydx?2
所以 切线方程为y?2x
（10）已知?+???ekxdx?1,则k? 【答案】?2 ??bkx??【解析】
1????edx?2?ekxdx?2blim10???kekx0 因为极限存在所以k?0
1?0?2k
k??2
（11）lim1n???0e?xsinnxdx? 【答案】0 【解析】令I?xn?e?sinnxdx??e?xsinnx?n?e?xcosnxdx
??e?xsinnx?ne?xcosnx?n2In
所以Incosnx?sinnxn??n2?1e?x?C 即lim1?xncosnx?sinnx?x1n???0esinnxdx?lim(n???n2?1e0) ?lim(ncosn?sinn?1nn???n2?1e?n2?1) ?0（12）设y?y(x)是由方程xy?ey?x?1确定的隐函数，则d2ydx2x=0= 【答案】?3
【解析】对方程xy?ey?x?1两边关于x求导有y?xy??y?ey?1，得y??1?yx?ey 对y?xy??y?ey?1再次求导可得2y??xy???y??ey?(y?)2ey?0，
y????2y??(y?)2ey得x?ey (*)
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当x?0时，y?0，y?(0)?1?0e0?1，代入(*)得 2y?(0)?(y?(0))2??(0)??e0y(0?e0)3??(2?1)??3
2（13）函数y?x2x在区间?01，?上的最小值为 【答案】e?e
【解析】因为y??x2x?2lnx?2?，令y??0得驻点为x?1e。 又y???x2x?2lnx?2?2?x2x?2，得y????1??2?1??2eex?e??0，
故x?1e为y?x2x的极小值点，此时y?e?2e，
又当x???0,1??时，y??x??0；x???1,1??时，y??x??0，故y在??0,1??上递减，在??1,1???e??e??e??e?上递增。
2lim2lnxlimxx?0?10?1而y?1??1，yxxx?x???0??2x2xlim?0??xlim?0?e2xlnx?e?e?elimx?0???2x??1，
2所以y?x2x在区间?01，?上的最小值为y??1??e?e???e。
?(14)设?，?为3维列向量，?T为?的转置，若矩阵??T相似于?200??000?T??，则??=
?000??
【答案】2
?200【解析】因为??T相似于??
?000??，根据相似矩阵有相同的特征值，得到??T的特征值
??000??
是2,0,0，而?T?是一个常数，是矩阵??T的对角元素之和，则?T??2?0?0?2。
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分）求极限
lim?1?cosx??x?ln(1?tanx)?x?0sin4x
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【解析】lim?1?cosx??x?ln(1?tanx)?1x2?x?ln(1?tanx)?x?0sin4x?lim2x?0sin4x ?1x2x?ln(1?tanx2lim)1x?ln(1?tanx)1x?0sin2xsin2x?2limx?0sin2x?4 （16）（本题满分10 分） 计算不定积分?ln(1?1?xx)dx (x?0) 【解析】方法一：令1?xx?t得x?1?2tdtt2?1,?dx?(t2?1)2 原式??ln(1?t)?2t?1(t2?1)2dt??ln(1?t)(t2?1)2d(t2?1)??ln(1?t)d(1t2?1)?ln(1?t)11t2?1??t2?1?t?1dt?ln(1?t)?1?1?1t?1????4(t?1)?4(t?1)??22(t?1)2??dt?ln(1?t)t2?1?14lnt?1t?1?12(t?1)?C1?x?xln(1?1?x1x?11x)?4ln1?x?1?x?Cx?12(x?1)
?xln(1?1?xx)?12ln(1?x?x)?12x(1?x?x)?C.?1方法二： ?ln(1?1?x)1?x1?x?xdx?xln(1?x)??x(1?)?1?x??x??x??dx ??xln(1?1?x1?x?x)?2????1?1?x??dx
??xln(1?1?x11x)?2x?2?x1?xdx
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?xdxu?1?x1?x分部?u2?12udu?2?u2?1duuuu2?1?lnu?u2?1?C?x?1?x??ln??
?x?1?x?C?即ln(1??1?x1?x11)dx?xln(1?)?x?xx22?xln(1?1?x1)?lnx2?x?1?x??ln?x?1?x???C ??x?1?x??1x2?x?1?x?C
（17）（本题满分10分）设z?f?x?y,x?y,xy?，其中f具有2阶连续偏导数，求dz与
?2z ?x?y?z?f1???x【解析】
?z?f1???yf2??yf3?f2??xf3?
?dz??z?zdx?dy?x?y?(f1??f2??yf3?)dx?(f1??f2??xf3?)dy?2z?f11???1?f12???(?1)?f13???x?f21???1?f22???(?1)?f23???x?f3??y[f31???1?f32???(?1)?f33???x]?x?y?f3??f11???f22???xyf33???(x?y)f13???(x?y)f23??（18）（本题满分10分）设非负函数y?y?x???x?0?满足微分方程xy???y??2?0，当曲线y?y?x??过原点时，其与直线x?1及y?0围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。
2【解析】微分方程xy???y??2?0得其通解y?C1?2x?C2x,其中C1，C2为任意常数
令p?y?，则y???dpdp1?2?p?，微分方程xy???y??2?0变形为
dxdxxx11dx??2??dt???2??etdx?C1??x??2dx?C1??2?C1x其中C1为任意常数 得到p?ex???x??x?即
dy1?2?C1x得到y?2x?C1x2?C2其中C2为任意常数 dx2
9 10
又因为y?y(x)通过原点时与直线x?1及y?0围成平面区域的面积为2，于是可得C2?0
2??1y(x)dx??11(2x?12C2CC1x)dx?(x2?16x3)?1?100
06从而C2?6
于是，所求非负函数y?2x?3x2??(x?0)
又由y?2x?3x2?可得，在第一象限曲线y?f(x)表示为x?13（1?3y?1) 于是D围绕y轴旋转所得旋转体的体积为V?5??V1，其中
V5511??0?x2dy??0??9(1?3y?1)2dy??59?0(2?3y?21?3y)dy
?3918?V?5??395118??18??176? （19）（本题满分10分） 求二重积分
???x?y?dxdy，其中D???x,y??x?1?2??y?1?2?2,y?x?。
D【解析】由(x?1)2?(y?1)2?2得r?2(sin??cos?)，
3???(x?y)dxdy??4?2(sin??cos?)?d?D?0(rcos??rsin?)rdr
43??4???12(sin??cos?)??3(cos??sin?)?r3?4??d? 0??3??4?8?(cos??sin?)?(sin??cos?)?(sin??cos?)243d? 3??4?8?(cos??sin?)?(sin??cos?)3d?43 ?833?4??)?8?1(sin??cos?)44?3?(sin??cos?)3d(sin??cos??8434?43
（20）（本题满分12分）
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