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2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题及答案解析
一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
?x?x3(1) 函数f?x?sin?x的可去间断点的个数为
?A? 1 ?B? 2 ?C? 3 ?D? 无穷多个 【答案】C
?x?x3【解析】由于fx??sin?x,则当x取任何整数时,f?x?均无意义.
故f?x?的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是x?x3?0的解
x1,2,3?0,?1.
x?x31?3x2limx?0sin?x?lim1x?0?cos?x??,limx?x31?3x2x?limx?1?cos?x?2?, x?1sin?limx?x31?3x22x??1sin?x?limx??1?cos?x??.故可去间断点为3个,即0,?1.
(2) 当x?0时,f?x??x?sinax与g?x??x2ln?1?bx?是等价无穷小,则
?A?a?1,b??16 ?B?a?1,b?16 ?C?a??1,b??116 ?D?a??1,b?6 【答案】A 【解析】 limf(x)x?0g(x)?limx?sinaxx?sinaxx?0x2ln(1?bx)?limx?0x2?(?bx) 洛lim1?acosaxa2sinaxx?0?3bx2洛limx?0?6bxlima2sinaxx?0??a3?? ?6b6b1,a?ax?a3??6b,故排除B,C.
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另外,lim1?acosaxbx存在,蕴含了1?acosax?0?x?0?,故a?1.排除D. x?0?32所以本题选A.
(3) 设函数z?f?x,y?的全微分为dz?xdx?ydy,则点?0,0?
?A? 不是f?x,y?的连续点 ?B? 不是f?x,y?的极值点
?C? 是f?x,y?的极大值点 ?D? 是f?x,y?的极小值点 【答案】D
【解析】因dz?xdx?ydy可得
?z?x?x,?z?y?y. ?2z?2z?2z?2A?z?x2?1,?B??x?y??y?x?0,?C??y2?1,
又在?0,0?处,
?z?z?x?0,?y?0,AC?B2?1?0, 故?0,0?为函数z?f(x,y)的一个极小值点. (4) 设函数f?x,y?连续,则
?2224?y1dx?xf?x,y?dy??1dy?yf?x,y?dx?
?A? ?24?x1dx?1f?x,y?dy ?B??2?x1dx?4xf?x,y?dy
?C? ?221dy?4?y1f?x,y?dx
?D??21dy?yf?x,y?dx 【答案】C
【解析】
?22221dx?xf(x,y)dy??1dy?xf(x,y)dx的积分区域为两部分：
D1??(x,y)1?x?2,x?y?2?,D2??(x,y)1?y?2,y?x?4?y?,
将其写成一块D??(x,y)1?y?2,1?x?4?y?, 故二重积分可以表示为
?21dy?4?y1f(x,y)dx,故答案为C.
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(5) 若f???x?不变号,且曲线y?f?x?在点?1,1?上的曲率圆为x2?y2?2,则函数f?x?在区间?1,2?内
?A? 有极值点,无零点 ?B? 无极值点,有零点
?C? 有极值点,有零点
?D? 无极值点,无零点 【答案】B
【解析】由题意可知,f(x)是一个凸函数,即f??(x)?0,且在点(1,1)处的曲率
??|y??|13?2,而f?(1)??1,由此可得,f??(1)??2. (1?(y?)2)2在[1,?2]上,f?(x)?f?(1)??1?0,即f(x)单调减少,没有极值点. 对于f(2)?f(1)?f?(?)??1?????(1,?2),(拉格朗日中值定理)
????f(2)?0而f(1)?1?0,由零点定理知,在[1,?2]上,f(x)有零点.故应选B.
（6）设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为：
则函数F?x???x0f?t?dt的图形为
?A??B?
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?C??D?
【答案】D
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由y?f(x)的图形可见，其图像与x轴及y轴、
x?x0所围的图形的代数面积为所求函数F(x)，从而可得出几个方面的特征：
①x??0,1?时，F(x)?0，且单调递减。 ②x??1,2?时，F(x)单调递增。 ③x??2,3?时，F(x)为常函数。
④x???1,0?时，F(x)?0为线性函数，单调递增。 ⑤由于F(x)为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为D。
（7）设A,B均为2阶矩阵，A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，若A?2,B?3，则分块矩
阵??OA?BO?的伴随矩阵为
?????O3B*A??
2B*??2A*O?.
??B???O?3A*O?. ????O3A*C??
?2B*O?.
??D???O2A*??3B*O?. 【答案】 B ?【解析】根据CC??CE若C??CC?1,C?1?1CC? 分块矩阵??0A???的行列式0AB0?B?（?1）2?20AB?2?3?6即分块矩阵可逆
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?1???1?0A?A?A??0B?1??0BB?????B0???0B0?0?B0???6??A?1??6?0???1?AA0? ?????013B???6??????02B???0?? ?1?2A?0???3A???（8）设A,P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP??100??010?，若
???002??P?(?T1,?2?,3)Q,??(1??2?,?2,，则3)QAQ 为
??210?
?110?
?A?.?110?
?
??B?. ??120?
?002????002???
?200?
?100??C?.??010?
?? ?D?.??020? 【答案】 A
?002??
??002????100?Q?(?(????1??2,?2,?3)?1,?2,?3)110?(?1,?2,?3)E12(1)，即： ???001??Q?PE12(1)QTAQ?[PETPET12(1)]A[12(1)]?E12(1)[PTAP]E12(1)?100??E21(1)??010???E12(1)?002??
?110???100??1???01010??00??210?110???110?01??0???0???002??????????001????002??二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
?1-（9）曲线??x=?t0e?u2du在（0，0）处的切线方程为 ??y?t2ln(2?t2)【答案】y?2x
5 【解析】
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