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2020年高考数学二轮复习微专题（文理通用）
多题一解之切线问题篇
【知识储备】
直线与曲线相切涉及到三个量：直线、曲线、切点，直线与圆相切也涉及到三个量：直线、圆、点。因此它们有共同的命题方式：知“二”求“一”，即知道其中的两个量去求另外一个两，虽然考查的知识点不一样，但思维方式是一样的，常常利用切点既在曲线上又在直线上来建立方程解决问题，都在考查方程思想的应用，因此它们属于多题一解。 1．导数的概念
f?x0＋Δx?－f?x0?Δy(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率Δxlim Δx＝Δxlim 为函Δx→0→0f?x0＋Δx?－f?x0?Δy
lim Δx＝Δxlim 数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝Δx。 Δx→0→0
(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的(x－x0)。 斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)。相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(3）曲线切线方程的求法：
①以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：
i、求出函数f(x)的导数f′(x)； ii、求切线的斜率f′(x0)；
iii、写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
?y0?f(x0)?②如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组?y1?y0得切点(x0，y0)，进
?(x0)?f?x?x?10而确定切线方程．
2．直线与圆的位置关系与判断方法
方法 过程 联立方程组消去x(或y)得一元二次方程，计算Δ＝b2－4ac 依据 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 d＜r d＝r d＞r 结论 相交 相切 相离 相交 相切 相离 代数法 计算圆心到直线的距离d，比较d与半几何法 径r的关系。相交时弦长为2
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r2－d2 1
【走进高考】
【例1】【2019年高考全国Ⅲ卷理、文数】已知曲线y?aex?xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则
A．a?e，b??1 C．a?e?1，b?1
B．a=e，b=1 D．a?e?1，b??1
【例2】【2019年高考全国Ⅰ卷文、理数】曲线y?3(x2?x)ex在点(0，0)处的切线方程为____________． 【例3】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数f?x??lnx?（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线y?ex的切线. 【例4】【2019年高考浙江卷】已知圆C的圆心坐标是(0,m)，半径长是r.若直线2x?y?3?0与圆C相切
于点A(?2,?1)，则m=___________，r=___________．
【例5】【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与
直线x+2=0相切．
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│?│MP│为定值？并说明理由．
x?1x?1.
1x2【例6】【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C：y=，D为直线y=?上的动点，过D作C的两条
22切线，切点分别为A，B． （1）证明：直线AB过定点；
5（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．
2【典例分析】
已知曲线的方程、切点坐标求切线方程
【例】【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y=2sinx+cosx在点(π，-1)处的切线方程为
A．x?y???1?0 C．2x?y?2??1?0
B．2x?y?2??1?0 D．x?y???1?0
【例】经过点M(3,0)作圆x2?y2?2x?4y?3?0的切线l，则l的方程为（ ）
A．x?y?3?0 C．x?y?3?0
B．x?y?3?0或x?3 D．x?y?3?0或x?3
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已知曲线的方程、切线方程求切点坐标
【例】【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经
过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 .
【例】【2014·高考江西卷】若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
已知切线方程、切点坐标求曲线方程
【例】(2015·高考全国卷Ⅱ)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.
【例】若圆心在x轴上、半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x?2y?0 相切，则圆O的方程是
A．(x?5)2?y2?5 B．(x?5)2?y2?5 C．(x?5)2?y2?5 D．(x?5)2?y2?5 曲线的切线与函数性质相结合：
【例】【2018全国卷Ⅰ】设函数f(x)?x3?(a?1)x2?ax，若f(x)为奇函数，则曲线y?f(x)在点(0,0)处
的切线方程为 A．y??2x
B．y??x
C．y?2x D．y?x
曲线的切线与两直线位置关系相结合：
【例】【2015陕西】设曲线y?ex在点（0,1）处的切线与曲线y?标为 ．
【例】【2014江苏】在平面直角坐标系xOy中，若曲线y?ax2?b(a，b为常数)过点P(2,?5)，且该曲线在x1(x?0)上点P处的切线垂直，则P的坐x点P处的切线与直线7x?2y?3?0平行，则a?b的值是 ． 圆的切线与椭圆相结合：
x2y2【2019年高考天津卷文数】设椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知
ab3|OA|?2|OB|（O为原点）.
（1）求椭圆的离心率；
3（2）设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，
4圆心C在直线x=4上，且OC∥AP，求椭圆的方程. 圆的切线与双曲线相结合：
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专题07 切线问题-2020年高考数学多题一解篇(文理通用)(原卷版)
