因为D为BC的中点，所以D(0，1)， 14?→→
因为AE＝2EC，所以E??3，3?， 11?→所以DE＝??3，3?，
121→→?11?所以DE·AC＝?3，3?·(－1，2)＝－＋＝. 333三、解答题
9.在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1). (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； →→→
(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值. 【答案】见解析
→→
【解析】(1)由题设知AB＝(3，5)，AC＝(－1，1)， →→→→
则AB＋AC＝(2，6)，AB－AC＝(4，4). →→→→
所以|AB＋AC|＝210，|AB－AC|＝42. 故所求的两条对角线的长分别为42，210.
→→→
(2)由题设知：OC＝(－2，－1)，AB－tOC＝(3＋2t，5＋t). →→→由(AB－tOC)·OC＝0，得 (3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0， 11从而5t＝－11，所以t＝－.
5
10.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1，2)，又点A(8，0)，B(n，t)，C(ksin θ，π
t)(0≤θ≤). 2
→→→→(1)若AB⊥a，且|AB|＝5|OA|，求向量OB；
→→→
(2)若向量AC与向量a共线，当k>4，且tsin θ取最大值4时，求OA·OC.
【答案】见解析
【解析】(1)由题设知AB→
＝(n－8，t)， ∵AB→
⊥a，∴8－n＋2t＝0. 又∵5|OA→|＝|AB→
|，
∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝±8. 当t＝8时，n＝24；当t＝－8时，n＝－8， ∴OB→＝(24，8)或OB→
＝(－8，－8). (2)由题设知AC→
＝(ksin θ－8，t)， ∵AC→
与a共线，∴t＝－2ksin θ＋16， tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ ＝－2k(sin θ－432
k)2＋k.
∵k>4，∴0<4
k
<1，
∴当sin θ＝432
k时，tsin θ取得最大值k. 由
32
k
＝4，得k＝8， 此时θ＝π→
6，OC＝(4，8)，
∴OA→·OC→＝(8，0)·(4，8)＝32. 【能力提升题组】(建议用时：20分钟)
11.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，点P满足CP＝2，则PA→·PB→的最大值为(A.9 B.16
C.18
D.25
【答案】 B
【解析】 ∵∠C＝90°，AB＝6，
∴CA→·CB→＝0，∴|CA→＋CB→|＝|CA→－CB→|＝|BA→|＝6，
∴PA→·PB→＝(PC→＋CA→)·(PC→＋CB→)＝PC→2＋PC→·(CA→＋CB→)＋CA→·CB→ ＝PC→·(CA→＋CB→)＋4，
) →→→→→→∴当PC与CA＋CB方向相同时，PC·(CA＋CB)取得最大值2×6＝12， →→∴PA·PB的最大值为16.
π12.(2024·浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b
3＋3＝0，则|a－b|的最小值是( ) A.3－1 C.2 【答案】 A
→→
【解析】 设O为坐标原点，a＝OA，b＝OB＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，π
即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a与e的夹角为，所以不妨令
3→→
点A在射线y＝3x(x>0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝|CA|－|CB|＝3－1.
B.3＋1 D.2－3
→→→2
13.(2024·安徽师大附中二模)在△ABC中，AB＝2AC＝6，BA·BC＝BA，点P是△ABC所在平面内一点，则→→→→→当PA2＋PB2＋PC2取得最小值时，AP·BC＝________. 【答案】 －9
→→→→→【解析】 ∵BA·BC＝|BA|·|BC|·cos B＝|BA|2， →→∴|BC|·cos B＝|BA|＝6， π→→
∴CA⊥AB，即A＝，
2
以A为坐标原点建立如图所示的坐标系，
则B(6，0)，C(0，3)，设P(x，y)，
→→→
则PA2＋PB2＋PC2＝x2＋y2＋(x－6)2＋y2＋x2＋(y－3)2＝3x2－12x＋3y2－6y＋45＝3[(x－2)2＋(y－1)2＋10] →→→
∴当x＝2，y＝1时，PA2＋PB2＋PC2取得最小值， →→此时AP·BC＝(2，1)·(－6，3)＝－9.
→→→→14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a－c)BA·BC＝cCB·CA. (1)求角B的大小；
→→
(2)若|BA－BC|＝6，求△ABC面积的最大值. 【答案】见解析
【解析】(1)由题意得(2a－c)cos B＝bcos C. 根据正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C， 所以2sin Acos B＝sin(C＋B)，
即2sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A>0， 所以cos B＝
2π，又B∈(0，π)，所以B＝. 24
→→→
(2)因为|BA－BC|＝6，所以|CA|＝6，
即b＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－2ac≥2ac－2ac＝(2－2)ac(当且仅当a＝c时取等号)，即ac≤3(2＋2).
3（2＋1）1
故△ABC的面积S＝acsin B≤，
2232＋3
因此△ABC的面积的最大值为. 2【新高考创新预测】
|α|
15.(新定义题型)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α?β＝cos θ，其中θ为α和β的夹角.若两个非零
|β|π0，?； 的平面向量a和b满足：①|a|≥|b|；②a和b的夹角θ∈??4?n
③a?b和b?a的值都在集合{x|x＝，n∈N}中，则a?b的值为________.
23
【答案】 2
π|a|n|b|mmn0，?，知cos2θ＝【解析】 a?b＝cos θ＝，b?a＝cos θ＝，m，n∈N.由a与b的夹角θ∈??4?|b|2|a|24
1?m3，1，故mn＝3，m，n∈N.因为|a|≥|b|，所以0
专题6.3 平面向量的数量积及其应用 2024届高考数学一轮复习提分专题Word版含解析
