因为D为BC的中点,所以D(0,1), 14?→→
因为AE=2EC,所以E??3,3?, 11?→所以DE=??3,3?,
121→→?11?所以DE·AC=?3,3?·(-1,2)=-+=. 333三、解答题
9.在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长; →→→
(2)设实数t满足(AB-tOC)·OC=0,求t的值. 【答案】见解析
→→
【解析】(1)由题设知AB=(3,5),AC=(-1,1), →→→→
则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4). →→→→
所以|AB+AC|=210,|AB-AC|=42. 故所求的两条对角线的长分别为42,210.
→→→
(2)由题设知:OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t). →→→由(AB-tOC)·OC=0,得 (3+2t,5+t)·(-2,-1)=0, 11从而5t=-11,所以t=-.
5
10.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(-1,2),又点A(8,0),B(n,t),C(ksin θ,π
t)(0≤θ≤). 2
→→→→(1)若AB⊥a,且|AB|=5|OA|,求向量OB;
→→→
(2)若向量AC与向量a共线,当k>4,且tsin θ取最大值4时,求OA·OC.
【答案】见解析
【解析】(1)由题设知AB→
=(n-8,t), ∵AB→
⊥a,∴8-n+2t=0. 又∵5|OA→|=|AB→
|,
∴5×64=(n-8)2+t2=5t2,得t=±8. 当t=8时,n=24;当t=-8时,n=-8, ∴OB→=(24,8)或OB→
=(-8,-8). (2)由题设知AC→
=(ksin θ-8,t), ∵AC→
与a共线,∴t=-2ksin θ+16, tsin θ=(-2ksin θ+16)sin θ =-2k(sin θ-432
k)2+k.
∵k>4,∴0<4
k
<1,
∴当sin θ=432
k时,tsin θ取得最大值k. 由
32
k
=4,得k=8, 此时θ=π→
6,OC=(4,8),
∴OA→·OC→=(8,0)·(4,8)=32. 【能力提升题组】(建议用时:20分钟)
11.在△ABC中,∠C=90°,AB=6,点P满足CP=2,则PA→·PB→的最大值为(A.9 B.16
C.18
D.25
【答案】 B
【解析】 ∵∠C=90°,AB=6,
∴CA→·CB→=0,∴|CA→+CB→|=|CA→-CB→|=|BA→|=6,
∴PA→·PB→=(PC→+CA→)·(PC→+CB→)=PC→2+PC→·(CA→+CB→)+CA→·CB→ =PC→·(CA→+CB→)+4,
) →→→→→→∴当PC与CA+CB方向相同时,PC·(CA+CB)取得最大值2×6=12, →→∴PA·PB的最大值为16.
π12.(2024·浙江卷)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2-4e·b
3+3=0,则|a-b|的最小值是( ) A.3-1 C.2 【答案】 A
→→
【解析】 设O为坐标原点,a=OA,b=OB=(x,y),e=(1,0),由b2-4e·b+3=0得x2+y2-4x+3=0,π
即(x-2)2+y2=1,所以点B的轨迹是以C(2,0)为圆心,1为半径的圆.因为a与e的夹角为,所以不妨令
3→→
点A在射线y=3x(x>0)上,如图,数形结合可知|a-b|min=|CA|-|CB|=3-1.
B.3+1 D.2-3
→→→2
13.(2024·安徽师大附中二模)在△ABC中,AB=2AC=6,BA·BC=BA,点P是△ABC所在平面内一点,则→→→→→当PA2+PB2+PC2取得最小值时,AP·BC=________. 【答案】 -9
→→→→→【解析】 ∵BA·BC=|BA|·|BC|·cos B=|BA|2, →→∴|BC|·cos B=|BA|=6, π→→
∴CA⊥AB,即A=,
2
以A为坐标原点建立如图所示的坐标系,
则B(6,0),C(0,3),设P(x,y),
→→→
则PA2+PB2+PC2=x2+y2+(x-6)2+y2+x2+(y-3)2=3x2-12x+3y2-6y+45=3[(x-2)2+(y-1)2+10] →→→
∴当x=2,y=1时,PA2+PB2+PC2取得最小值, →→此时AP·BC=(2,1)·(-6,3)=-9.
→→→→14.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2a-c)BA·BC=cCB·CA. (1)求角B的大小;
→→
(2)若|BA-BC|=6,求△ABC面积的最大值. 【答案】见解析
【解析】(1)由题意得(2a-c)cos B=bcos C. 根据正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, 所以2sin Acos B=sin(C+B),
即2sin Acos B=sin A,因为A∈(0,π),所以sin A>0, 所以cos B=
2π,又B∈(0,π),所以B=. 24
→→→
(2)因为|BA-BC|=6,所以|CA|=6,
即b=6,根据余弦定理及基本不等式得6=a2+c2-2ac≥2ac-2ac=(2-2)ac(当且仅当a=c时取等号),即ac≤3(2+2).
3(2+1)1
故△ABC的面积S=acsin B≤,
2232+3
因此△ABC的面积的最大值为. 2【新高考创新预测】
|α|
15.(新定义题型)对任意两个非零的平面向量α和β,定义α?β=cos θ,其中θ为α和β的夹角.若两个非零
|β|π0,?; 的平面向量a和b满足:①|a|≥|b|;②a和b的夹角θ∈??4?n
③a?b和b?a的值都在集合{x|x=,n∈N}中,则a?b的值为________.
23
【答案】 2
π|a|n|b|mmn0,?,知cos2θ=【解析】 a?b=cos θ=,b?a=cos θ=,m,n∈N.由a与b的夹角θ∈??4?|b|2|a|24
1?m3,1,故mn=3,m,n∈N.因为|a|≥|b|,所以0
专题6.3 平面向量的数量积及其应用 2024届高考数学一轮复习提分专题Word版含解析



