第三章 导数
导数与函数的单调性、极值、最值
【背一背重点知识】
1. 求函数单调区间的步骤：(1）确定f(x)的定义域，(2）求导数f(x)，(3）令f(x)?0(或
''f'(x)?0),解出相应的x的范围.当f'(x)?0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f'(x)?0时，f(x)在相应区间上是减函数
2. 求极值常按如下步骤：① 确定函数的定义域；② 求导数；③ 求方程f(x)?0的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点；④通过列表法, 检查在可能极值点的左右两侧的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．.
3. 求函数y?f(x)在?a,b?上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数y?f(x)在?a,b?内的极值；
(2)将函数y?f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【讲一讲提高技能】
1.必备技能：函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质，函数的单调区间是函数的定义域的子区间，求函数的单调区间时千万不要忽视函数的定义域．如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．
利用导数研究函数最值问题讨论思路很清晰，但计算比较复杂，其次有时需要二次求导研究导函数的最值来判断导函数的正负．
根据函数的导数研究函数的单调性，在函数解析式中若含有字母参数时要进行分类讨论，这种分类讨论首先是在函数的定义域内进行，其次要根据函数的导数等于零的点在其定义域内的情况进行，如果这样的点不止一个，则要根据字母参数在不同范围内取值时，导数等于零的根的大小关系进行分类讨论，最后在分类解决问题后要整合一个一般的结论． 2.典型例题： 例1 函数f(x)?'1314x?x在区间??3,3?上的极值点为________． 34
分析:因为f(x)?1314x?x，所以f?(x)?x2?x3??x2(x?1)，令f?(x)?0，则x?034或x?1,因为x???3,3?，所以x?1，并且在x?1左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，所以函数f(x)?1314x?x在区间??3,3?上的极值点为1． 342例2已知不等式ax?bx?c?0的解集??1,3?，则函数f(x)??bx?ax?cx?m单
3216调递增区间为( )
A. (-?,-1), B. (-1,3) （3，??）2C.( -3,1) D.(??,?3), （1，??）分析：先由不等式ax?bx?c?0的解集??1,3?，得到a?0,b??2a,c??3a，得
m??1f(x)?a?x3?x2?3x??,对f(x)求导得f'(x)?ax2?2x?3，再根据函数单调
a??3??性和导数正负的关系得到f(x)?0时，x???3,1?，即得答案．
'【答案】C
【练一练提升能力】
1.设f(x)是定义在R上的函数，其导函数为f?(x)，若f(x)+f?(x)?1，f?0??2015，则不等式ef(x)?e?2014（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ） A．?2014,2015? B．???，0?C．?0，??? D．?-?，0? 【答案】D
【解析】构造函数F?x??ef?x??e，因此F??x??f??x??f?x??1e，故函数
xxxxx?2015, ???
??F?x??exf?x??ex在R上是减函数，所以exf(x)?ex?2014，即F?x??F?0?，因此
exf(x)?ex?2014的解集?-?，0?，故答案为D．
2. 设a?R，若函数y?e?ax,x?R有大于零的极值点，则 （ ） A．a??1 B．a??1 C．a?? D．a?? 【答案】A
x1e1e
利用导数探求参数的范围问题 【背一背重点知识】
1. 由函数的单调性求参数的取值范围，这类问题一般已知f(x)在区间I上单调递增(递减)，等价于不等式f(x)?0(或f(x)?0)在区间I上恒成立，通过分离参数求得新函数的最值，从而求出参数的取值范围．
2.常见结论：(1)若?x?I，f(x)?0恒成立，则f(x)min?0; 若?x?I，f(x)?0恒成立，则f(x)max?0 (2)若?''x0?I，使得f(x0)?0，则f(x)max?0；若?x0?I，使得f(x0)?0，则
f(x)min?0.
(3)设f(x)与g(x)的定义域的交集为D，若?x?D f(x)?g(x)恒成立，则有
?f(x)?g(x)?min?0.
(4)若对?(5)若对?x1?I1、x2?I2 ，f(x1)?g(x2)恒成立，则f(x)min?g(x)max. x1?I1，?x2?I2，使得f(x1)?g(x2),则f(x)min?g(x)min. x1?I1，?x2?I2，使得f(x1)?g(x2)，则f(x)max?g(x)max.
(6)若对?(7)已知f(x)在区间I1上的值域为A,，g(x)在区间I2上值域为B，若对
2020年高考数学 专题03 导数(含解析)
