1997年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)3sinx?x2cos
1
(1)lim
xx?0(1?cosx)ln(1?x)=_____________.(2)设幂级数??
a?
n
x
n
的收敛半径为3,则幂级数n?1
?nan
(x?1)
n?1
n?1
的收敛区间为_____________.?(3)对数螺线??e?在点(?,?)?(e2,?2)处切线的直角坐标方程为_____________.?(4)设A??12?2?
?4t3?,B为三阶非零矩阵,且AB?O,则?3?11?
???t=_____________.(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)xy(1)二元函数f(x,y)?x2?y2 (x,y)?(0,0),在点(0,0)处0 (x,y)?(0,0)
(A)连续,偏导数存在(B)连续,偏导数不存在(C)不连续,偏导数存在(D)连续,偏导数不存在(2)设在区间[a,b]上f(x)?0,f?(x)?0,f??(x)?0.令Sb
1??af(x)dx,S2?f(b)(b?a),S3?1
2[f(a)?f(b)](b?a),
则(A)S1?S2?S3(B)S2?S1?S3(C)S3?S1?S2(D)S2?S3?S1
36梦想不会辜负每一个努力的人
(3)设F(x)??
x?2?xesintsintdt,则F(x)
(A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数?a1??b1?(4)设α1???a2?,α2??b2??,α3??c1?c2??????,则三条直线?a3????b3?????c3??
a1x?b1y?c1?0,a2x?b2y?c2?0,a3x?b3y?c3?0
(其中ai2?bi2?0,i?1,2,3)交于一点的充要条件是(A)α1,α2,α3线性相关(B)α1,α2,α3
线性无关(C)秩r(α1,α2,α3)?秩r(α1,α2)(D)α1,α2,α3线性相关,α1,α2线性无关(5)设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,则随机变量3X?2Y的方差是(A)8(B)16(C)28(D)44三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)计算I?
???(x
2
?y2
)dv,其中?为平面曲线y2?2z
?
x?0
绕z轴旋转一周所成的曲面与平面z?8所围成的区域.(2)计算曲线积分??(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz,其中c是c
曲线x2?y2?1x?y?z?2
从z轴正向往z轴负向看c的方向是顺时针的.(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为N,在t?0时刻已掌握新技术的人数为x0,在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数k?0,求x(t).
四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分)(1)设直线l:x?y?b?0
x?ay?z?3?0
在平面?上,而平面?与曲面z?x2?y2相切于点(1,?2,5),求a,b之值.37梦想不会辜负每一个努力的人
(2)设函数f(u)具有二阶连续导数,而z?f(ex
siny)满足方程?2z?x2??2z
?y
2?e2xz,求f(u).五、(本题满分6分)设f(x)连续,?(x)?
?
10f(xt)dt,且lim
f(x)
x?0
x
?A(A为常数),求??(x)并讨论??(x)在x?0处的连续性.六、(本题满分8分)设a1?0,an1?1?2(an?1
a)(n?1,2,?),证明n
(1)limx??
an存在.(2)级数??
(
ann?1
a?1)收敛.n?1
七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)(1)设B是秩为2的5?4矩阵,α1?[1,1,2,3]T,α2?[?1,1,4,?1]T,α3?[5,?1,?8,9]T是齐次线性方程组Bx?0的解向量,求Bx?0的解空间的一个标准正交基.?1??2(2)已知ξ???1?是矩阵A???12?5a?的一个特征向量.?1???3?
??????1b?2??
1)试确定a,b参数及特征向量ξ所对应的特征值.2)问A能否相似于对角阵?说明理由.八、（本题满分5分）设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B.
(1)证明B可逆.(2)求AB?1
.
九、（本题满分7分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2
5.设X为途中遇到红灯的次数,求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望.十、（本题满分5分）设总体X的概率密度为f(x)?
(??1)x?0?x?1
0
其它38梦想不会辜负每一个努力的人
39梦想不会辜负每一个努力的人
其中???1是未知参数,X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求?的估计量.1998年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)lim
1?x?1?x?2
x?0
x2=_____________.(2)设z?1
xf(xy)?y?(x?y),f,?具有二阶连续导数,则?2z
?x?y
=_____________.(3)设l为椭圆x24?y2
3?1,其周长记为a,则??(2xy?3x
2
?4y2)ds=_____________.L
(4)设A为n阶矩阵,A?0,A*为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.若A有特征值?,则(A*)2
?E必有特征值_____________.(5)设平面区域D由曲线y?
1x及直线y?0,x?1,x?e2
所围成,二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x?2处的值为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)连续,则dx
tf(x2?t2dx?0
)dt=(A)xf(x2
)(B)?xf(x2
)
(C)2xf(x2)(D)?2xf(x2)
(2)函数f(x)?(x2?x?2)x3?x不可导点的个数是(A)3(B)2(C)1(D)0(3)已知函数y?y(x)在任意点x处的增量?y?
y?x
1?x2??,且当?x?0时,?是?x的高阶无穷小,y(0)??,则y(1)等于(A)2?(B)?40梦想不会辜负每一个努力的人
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