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2006年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析
一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.
xln(1?x)? 2.
x?01?cosx0【分析】 本题为未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可.
0xln(1?x)x?x【详解】 lim?lim?2.
x?01?cosxx?012x2y(1?x)?x（2） 微分方程y??的通解是y?Cxe(x?0).
x（1）lim【分析】 本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可 【详解】 原方程等价为
dy?1????1?dx， y?x?两边积分得 lny?lnx?x?C1，整理得 y?Cxe.（C?e1） （3）设?是锥面z??xCx2?y2(0?z?1)的下侧，则
??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?2?.
??z?1【分析】 本题?不是封闭曲面，首先想到加一曲面?1：，取上侧，使???1?22x?y?1?构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计
算即可.
【详解】 设?1：z?1(x?y?1)，取上侧，则
22??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy
?
?而
???1??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy???xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy.
?12?V0???1??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy＝???6dv?6?2ydz?dx3?(z. 1)?xdd??rdr?dz?2?，
0r11
??xdyd?z?1中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn
中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 所以
??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?2?.
?（4）点(2,1,0)到平面3x?4y?5z?0的距离d?【分析】 本题直接利用点到平面距离公式 d?2. Ax0?By0?Cz0?DA?B?C222
进行计算即可. 其中(x0,y0,z0)为点的坐标，Ax?By?Cz?D?0为平面方程. 【详解】 d?3?2?4??1?50?2.
2223?4?5（5）设矩阵A?? B? 2 . ?21??，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，则
??12?【分析】 将矩阵方程改写为AX?B或XA?B或AXB?C的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.
【详解】 由题设，有
B(A?E)?2E 于是有 BA?E?4，而A?E?11?2，所以B?2. ?11（6）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间?0,3?上的均匀分布，则
P?max?X,Y??1??
1 . 9【分析】 利用X与Y的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知，X与Y具有相同的概率密度
?1?, 0?x?3 f(x)??3.
??0, 其他则 Pmax?X,Y??1?P?X?1,Y?1??P?X?1?P?Y?1?
????P?X?1??2?11?1???dx??. ?03?92中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn
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【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图：
则 Pmax?X,Y??1?P?X?1,Y?1????S阴1?. S9二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（7）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在点x0处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则
(A) 0?dy??y. (B) 0??y?dy.
(C) ?y?dy?0. (D) dy??y?0 . [ Ａ ] 【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】 由f?(x)?0,f??(x)?0知，函数f(x)单调增加，曲线y?f(x)凹向，作函数y?f(x)的图形如右图所示，显然当?x?0时，
?y?dy?f?(x0)dx?f?(x0)?x?0，故应选(Ａ).
（8）设
?f(x,y)为连续函数，则
?40d??f(rcos?,rsin?)rdr等于
01（Ａ）
?220dx?1?x2xf(x,y)dy. （B）?220dx?1?x20f(x,y)dy.
(C)
?220dy?1?y2yf(x,y)dx. (D)
?220dy?1?y20f(x,y)dx . [ Ｃ ]
【分析】 本题首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可. 【详解】 由题设可知积分区域D如右图所示，显然是Y型域，则
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中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 原式?故选（Ｃ）. （9）若级数
?220dy?1?y2yf(x,y)dx.
?an?1n?n收敛，则级数
(A)
?an?1??收敛 . （B）
?(?1)n?1??nan收敛.
(C)
?anan?1收敛. (D)
n?1??an?an?1收敛. [ Ｄ ] ?2n?1【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】 由
?an收敛知?an?1收敛，所以级数?n?1n?1an?an?1收敛，故应选(Ｄ). 2n?1? 或利用排除法： 取an?(?1) 取an?(?1)nn1，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）； n1，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确. n（10）设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是
(A) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (B) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (C) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.
(D) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. [ Ｄ ] 【分析】 利用拉格朗日函数F(x,y,?)?f(x,y)???(x,y)在(x0,y0,?0)（?0是对应
x0,y0的参数?的值）取到极值的必要条件即可.
【详解】 作拉格朗日函数F(x,y,?)?f(x,y)???(x,y)，并记对应x0,y0的参数?的值为?0，则
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中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 ?F?(x,y??f?(x,y)????(x,y)?0)0?x00,0??x000x00 ?， 即? .
?0,y??,0?)0??0??Fy(x?fy(x0,y0)??0?y(x0,y0)?0消去?0，得
fx?(x0,y0)?y?(x0,y0)?fy?(x0,y0)?x?(x0,y0)?0, 整理得 fx?(x0,y0)?1?y?(x0,y0)fy?(x0,y0)?x?(x0,y0).（因为?y?(x,y)?0），
若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.故选（Ｄ）. （11）设?1,?2,,?s均为n维列向量，A为m?n矩阵，下列选项正确的是
,?s线性相关，则A?1,A?2,,?s线性相关，则A?1,A?2,,?s线性无关，则A?1,A?2,,?s线性无关，则A?1,A?2,,A?s线性相关. ,A?s线性无关. ,A?s线性相关.
,A?s线性无关.
(A) 若?1,?2,(B) 若?1,?2,(C) 若?1,?2,(D) 若?1,?2, [ C ]
【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】 记B?(?1,?2,所以，若向量组?1,?2,,?s)，则(A?1,A?2,,A?s)?AB.
,?s线性相关，则r(B)?s，从而r(AB)?r(B)?s，向量组
A?1,A?2,,A?s也线性相关，故应选(Ａ).
（12）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到第2
?110???列得C，记P?010，则
???001???（Ａ）C?PAP. （Ｂ）C?PAP.
（Ｃ）C?PAP. （Ｄ）C?PAP. ［ Ｂ ］ 【分析】 利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.
【详解】 由题设可得
TT?1?1中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn
考研真题【1987-2016考研数学(一)真题答案与解析】2006考研数学一真题及答案解析
