第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷模版
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第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷
（非数学类,2０12）
本试卷共2页,共6题。全卷满分１0０分。考试用时150分钟。
一、（本大题共5小题，每小题6分,共3０分)计算下列各题（要求写出重要步骤）. (1) 解： (2)
解: （令)
（3) 设函数有二阶连续偏导数, 满足且,是由方程所确定的函数． 求 解:依题意有，是函数，、是自变量。将方程两边同时对求导， ，则 ,于是
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(4) 求不定积分 解：
（5) 求曲面和所围立体的表面积 解:联立,,解得两曲面的交线所在的平面为, 它将表面分为与两部分,它们在平面上的投影为, 在上 在上 则
二、(本题1３分)讨论的敛散性,其中是一个实常数. 解:记
① 若，;则发散 ② 若，则，而;所以
发散。
③ 若，即 ，考 级数敛散性即可 当时， 对任何,我们有
这样，存在 ,使得 ．
从而可知，当,时，所讨论的积分收敛，否则发散。
三、（本题1３分）设在上无穷次可微，并且满足:存在，使得,,，且,求证：在上, 证明：因为（*) 由 ，， 得 ，
在
上
无
穷
次
可
微
,且
,所
以
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于是
由罗尔定理,对于自然数在上，存在，使得 ,且 这里
在上，对应用罗尔定理，存在
，使得 ,且
于是
类似的，对于任意的,有 有（*）
四、(本题共１6分，第1小题6分,第2小题1０分)
设D为椭圆形，面密为ρ的均质薄板；l为通过椭圆焦点 （其中)垂直于薄板的旋转轴.
１． 求薄板Ｄ绕l旋转的转动惯量J;
2． 对于固定的转动惯量，讨论椭圆薄板的面积是否有最大值和最小值. 解：1.
2. 设J固定，是确定的隐函数，则
,对关于求导,
五、(本题12分）设连续可微函数由方程（其中有连续的偏导数）唯一确定， L
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