式1分，（10）或（13）式5分，（11）或（14）式1分，（19）式6分，（23）式4分，（25）式2分． 四、参考解答：
以v表示粒子的速率，以B表示电流i产生磁场的磁感应强度，根据题意粒子作圆周运动的向心力为粒子受到的磁场洛仑兹力，因此有
v2qvB?mR （1）
而
v??R
（2）
由（1）、（2）两式得
B?m?q
（3）
如图建立坐标系，则粒子在时刻t的位置
x(t)?Rcos?t，y(t)?Rsin?t
（4）
取电流的正方向与y轴的正向一致，设时刻t长直导线上的电流为i(t)，它产生的磁场在粒子所在处磁感应强度大小为
B?ki(t) d?x(t) （5）
方向垂直圆周所在的平面.由（4）、（5）式，可得
i(t)?km?(d?Rcos?t) q （6）
评分标准：本题12分．
（3）式4分，（4）式2分，（5）式4分，（6）式2分．
全国中学生物理竞赛复赛21--31
五、参考解答：
1．质点在A?B应作减速运动（参看图1）．设质点在A点的最小初动能为E，则根据能量守
k0M Q C 恒，可得质点刚好能到达B点的条件为
kqQkqQkqQkqQ??mgR?Ek0??R3R/22R5R/2O? ?Q R2 O R B R （1） 由此可得
7kqQEk0?mgR?30R A q
N 图1
（2）
2． 质点在B?O的运动有三种可能情况：
i．质点在B?O作加速运动（参看图1），对应条件为
mg?4kqQ9R2
（3）
此时只要质点能过B点，也必然能到达O点，因此质点能到达O点所需的最小初动能由（2）式给出，即
Ek0?mgR?7kqQ 30R （4）
若（3）式中取等号，则最小初动能应比（4）式给出的Ek0略大一点．
ii．质点在B?O作减速运动（参看图1），对应条件为
mg?4kqQ R2 （5）
此时质点刚好能到达O点的条件为
kqQkqQkqQkqQ ??mg(2R)?Ek0??RR/22R5R/2 （6）
由此可得
全国中学生物理竞赛复赛22--31
Ek0?2mgR?11kqQ 10R Q C M （7）
iii．质点在B?O之间存在一平衡点D（参看图2），在B?D质点作减速运动，在D?O质点作加速运动，对应条件为
4kqQ4kqQ ?mg?9R2R2O? ?Q O D x R2 R B A R q N 图2
（8）
设D到O点的距离为x，则
mg?kqQ(?R/2??x)2 （9）
即
x?kqQR ?mg2 （10）
根据能量守恒，质点刚好能到达D点的条件为
kqQkqQkqQkqQ ??mg(2R?x)?Ek0??RR/2?x2R5R/2?? （11）
由（10）、（11）两式可得质点能到达D点的最小初动能为
Ek0?59kqQmgR??2kgmqQ 210R （12）
只要质点能过D点也必然能到达O点，所以，质点能到达O点的最小初动能也就是（12）式（严格讲应比（12）式给出的） Ek0略大一点．
评分标准：本题20分．
第1小问5分．求得（2）式给5分．
全国中学生物理竞赛复赛23--31
第2小问15分．算出第i种情况下的初动能给2分；算出第ii种情况下的初动能给5分；算出第iii种情况下的初动能给8分，其中（10）式占3分．
六、参考解答：
n?1时，A、B
rL
rL B
间等效电路如
A
rL 图1
rL 图1所示， A、B间的电阻
1R1?(2rL)?rL 2n?2时，A、B
（1）
13间等效电路如
23图2所示，A、B间的电阻
1?41?R2??rL?R1? 2?33?rLR123rLB
（2）
A 23rL
13R1
23rL
由（1）、（2）两式得
5R2?rL
6图2
(3)
1
n?3时，A、B
29rL 93rL 13rL 2rL 1R2 1rL 9rL 3393911间等效电路
A
29如图3所示，A、B间的电阻
R3?1?1?331??2??3?3??2rL?R2????2?9?443??91rL rL 13rL rL 29B
rL 9rL 13R2 rL 93391rL 39rL
图3
rL
（4） 由（3）、（4）式得
R3?7rL 9 （5）
全国中学生物理竞赛复赛24--31
评分标准：本题20分．
（1）式4分，（3）式6分，（5）式10分．
七、参考解答：
１．根据题意，太阳辐射的总功率PS?4πRS2?TS4．太阳辐射各向同性地向外传播．设地球半径为rE，可以认为地球所在处的太阳辐射是均匀的，故地球接收太阳辐射的总功率为
?R?PI??TS4?S?πrE2
?d?2 （1）
地球表面反射太阳辐射的总功率为?PI．设地球表面的温度为
TE，则地球的热辐射总功率为
PE?4πrE2?TE4
（2）
考虑到温室气体向地球表面释放的热辐射，则输入地球表面的总功率为PI??PE．当达到热平衡时，输入的能量与输出的能量相等，有
PI??PE??PI?PE
（3）
由以上各式得
2?1???TE?TS??2?1???1/4?RS??d???1/2 （4）
代入数值，有
TE?287K
（5）
2．当地球表面一部分被冰雪覆盖后，以??表示地球表面对太阳辐射的平均反射率，根据题意这时地球表面的平均温度
全国中学生物理竞赛复赛25--31
第27届全国中学生物理竞赛复赛试卷及答案
