r(R)?R?IA= IA={<1,1>，首先容易计算出R=Φ，IA={<1,1>，<2,2>}。<2,2>}。
易错点：有的同学对闭包的概念理解不够清楚。简单说，闭包是在原有关系的基础上，添加最少的有序对，使得到的新关系具备某些特定性质。如，R自反闭包就是包含R的、并且具备自反性的最小关系。
提示：同学们可以在理解相关概念的基础上，牢记并熟练应用闭包的计算公式。
常考知识点2：函数的概念与性质（历年考核次数：4次，本课程共考过6次；重要程度：★★★）
（2009年7月试卷第7题）设A={a，b，c}，B={1，2}，作f：A→B，则不同的函数个数为 。
[解题过程]：
本题目考核的是学生对函数概念的理解。 函数可以有下面映射规则： （1）a,b,c全映射到2；
（2）a映射到1，b和c映射到2； （3）b映射到1，a和c映射到2； （4）c映射到1，a和b映射到2； （5）a映射到2，b和c映射到1； （6）b映射到2，a和c映射到1； （7）c映射到2，a和b映射到1； （8）a,b,c全映射到1； 因此，函数个数为8。
另外，此类题目也可以作以下分析。
A到B映射个数可以描述为：C3?C3?C3?C3=8 正确答案：8
易错点：同学们对函数的单值性理解不够清楚，可能会认为A中必须有元素与B中元素唯一对应。
提示：函数概念中，有两点尤其要注意。第一，是函数的单值性，即对于A中任何元素，必须有B中元素映射f唯一对应；第二，是函数的定义域，即A是函数f定义域。
（2009年1月试卷第14题）判断说明：设N、R分别为自然数集与实数集，f：N→R，f (x)=x+6，则f是单射。
6
0123
[解题过程]： 正确。
设x1，x2为自然数且x1?x2，则有f(x1)= x1+6? x2+6= f(x2)，故f为单射。 易错点：同学们对函数单射概念理解不够清楚，可能会认为对于R中的小数，自然数集中无法用函数f对应，因此给出“错误”判定结论。
提示：“单射”概念中，强调的是对于不同定义域中的值，通过函数映射得到的对应值不同，这种“一对一”是从前到后的一对一，并不要求从后到前一对一。
（2009年1月试卷第14题）设A={a, b}，B={1, 2}，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1={
A．R1和R2 B．R2 C．R3 D．R1和R3 [解题过程]：
选择A错误 正确答案：B
函数的概念中，强调两点：第一，函数的单值性，即对于每一个定义域中的值，只能有一个对应函数值；第二，函数的定义域必须为集合A。本题中的R2不符合函数概念强调的第一点。
易错点：有的同学可能认为R1也不是函数，理由是a和b的对应的是相同值。这是对函数概念理解常见的错误。函数概念并不要求值域中的值必须与定义域唯一对应。
提示：判断一个二元关系是否为函数，要按照函数概念所规定的两个条件逐一比较，只要完全符合便可得到正确判断。
常考知识点3：序关系（历年考核次数：4次，本课程共考过6次；重要程度：★★★）
（2009年7月试卷第14题）若偏序集
图二
[解题过程]：
判断结论：错误。
集合A的最大元不存在，a是极大元。
若a为最大元，则对于任意x∈A，必有 7 a>?R，因此a不是最大元。同时，不存在x∈A，满足 易错点：同学们对序关系的相关概念理解不够透彻。哈斯图不是简单的层次关系图，不要用层次关系判断最大元、最小元、极大元、极小元等。 提示：最小元应小于等于其它各元素；最大元应该大于等于其它个元素；极小元应该小于等于一些元素，而与剩下的元素没有关系；极大元应该大于等于一些元素，而与剩下的元素没有关系。最大元和最小元不一定存在，如果存在则必定唯一。 （2009年10月试卷第3题）设集合A={1，2，3，4，5}，偏序关系?是A上的整除关系，则偏序集 A．最大元 B．极大元 C．最小元 D．极小元 [解题过程]： 选择A错了。 正确答案：B。 由于元素4和5没有整除关系，显然5不是最大元。 同理，5和2没有整除关系，5也不是最小元。 易错点：同学们对序关系的相关概念理解不够透彻。哈斯图不是简单的层次关系图，不要用层次关系判断最大元、最小元、极大元、极小元等。 提示：整除关系是常考的一类偏序关系。两个元素是否具备整除关系可以不直接表达，所以题型描述简单，但是同学们需要将序关系的概念应用到此类题目中才能正确辨别。 三、模拟练习 练习1 ：（2010年1月试卷第6题）设集合A={2, 3, 4}，B={1, 2, 3, 4}，R是A到B的二元关系， R?{?x,y?x?A且y?B且x?y} 则R的有序对集合为 ． 解析：答案为{<2, 2>，<2, 3>，<2, 4>，<3, 3>，<3, 4>，<4, 4>} 对于A中元素2，满足条件y?B且2?y在集合B中的元素为2、3和4，因此，有序对应该包括<2, 2>，<2, 3>和<2, 4>。 对于A中元素3，满足条件y?B且3?y在集合B中的元素为3和4，因此，有序对应该包括<3, 3>，<3, 4>。 对于A中元素4，满足条件y?B且4?y在集合B中的元素为4，因此，有序对应该包括<4, 4>。 8 汇总上面结论，R的有序对集合为： {<2, 2>，<2, 3>，<2, 4>，<3, 3>，<3, 4>，<4, 4>} y>|x=y练习2 ：（2009年7月试卷第2题）集合A={1, 2, 3, 4}上的关系R={ 且x, y?A}，则R的性质为（ ）． A．不是自反的 B．不是对称的 C．传递的 D．反自反 解析：答案为C 本题目考的知识点是关系的集合表示以及关系的性质。根据关系R的描述，可以将有限集合A上关系R表示为 {<1,1>，<2,2>，<3,3>，<4,4>} 由关系自反、反自反以及对称和传递的概念，可知关系R满足自反性、对称性和传递性。 因此答案选择为C。 练习3 ：（2009年10月试卷第7题）设集合A={1，2，3}上的函数分别为：f={<1, 2>, <2, 1>, <3, 3>,}，g={<1, 3>, <2, 2>, <3, 2>,}，则复合函数g?f = ． 解析：{<1, 2>, <2, 3>, <3, 2>} 本题考核的是复合函数的概念。 对于f中元素<1, 2>，g中存在元素<2, 2>， 使f(1)=2，g (2)=2，因此<1,2>? g?f。同理，对于f中的元素<2, 1>，g中存在元素<1, 3>以及f中的元素<3, 3>，g中存在元素<3, 2>使<2, 3>和<3, 2>满足复合函数的概念。 因此，答案为{<1, 2>, <2, 3>, <3, 2>}。 练习4 ：（2008年7月试卷第3题）如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有（ ）个． A．0 B．2 C．1 D．3 解析：答案B 本题目考核的是集合的运算以及关系自反性的概念。 因为R1和R2是A上的自反关系，对于A中任意元素a，均同时满足 R1， 练习5 ：（2008年7月试卷第2题）设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为 ( )． A．8、2、8、2 B．无、2、无、2 9 因此答案为B。 C．6、2、6、2 D．8、1、6、1 解析：答案B。 练习6 ：（2008年9月试卷第14题）判断正误，并说明理由。如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2是自反的。 [解题过程] 正确 因为R1和R2是自反的，?x ?A， 练习7 ：（2009年7月试卷第16题）设A={0，1，2，3，4}，R={ （1）对于A中任意元素x和y，x+y≥0，所以R=?。 （2）对于A中元素x=0，满足x+y≤3的A中元素y可以取值为0,1,2,3； 对于A中元素x=1，满足x+y≤3的A中元素y可以取值为0,1,2； 对于A中元素x=2，满足x+y≤3的A中元素y可以取值为0,1； 对于A中元素x=3，满足x+y≤3的A中元素y可以取值为0； 因此，S={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0>} （3）R? S=?? S = ?。 （4）R-1=? （5）S-1= {<0,0>,<1,0>,<2,0>,<3,0>,<0,1>,<1,1>,<2,1>,<0,2>,<1,2>,<0,3>= S （6）r(R)= ?∪IA = IA． 集合B中没有元素8，因此可以排除答案中的A和D。 因为对于B中元素4和6，<4,6>?R，因此，6不是最大元。排除答案C。 本题答案为B 10
离散数学集合论部分常考××题
