第五章 线性系统的频域分析与校正
习题与解答
5-1 试求题5-75图(a)、(b)网络的频率特性。
(a) (b)
图5-75 R-C网络
解 （a)依图：Uc(s)?Ur(s)R2R11sCR2?1R1?sC1R2?U(s)sC??2s?1? (b)依图：c1Ur(s)T2s?1R1?R2?sC?K1(?1s?1)T1s?1R2?K??1R?R12?? ??1?R1C?RRC?T1?12?R1?R2???2?R2C ?T?(R?R)C12?2 5-2 某系统结构图如题5-76图所示，试根据频率特性的物理意义，求下列
输入信号作用时，系统的稳态输出cs(t)和稳态误差es(t)
（1） r(t)?sin2t
（2） r(t)?sin(t?30?)?2cos(2t?45?) 解 系统闭环传递函数为: ?(s)?频率特性: ?(j?)?幅频特性: ?(j?)?1 图5-76 系统结构图 s?212?? ??j22j??24??4??124????相频特性: ?(?)?arctan()
21s?1?, 系统误差传递函数: ?e(s)?1?G(s)s?2
则 ?e(j?)?1??24??21,??e(j?)?arctan??arctan()
2（1）当r(t)?sin2t时, ??2，rm=1 则 ?(j?)??2??2?0.35, ?(j2)?arctan()??45?
28???1, （2） 当 r(t)?sin(t?30?)?2cos(2t?45?)时: ?1??2?2,rm1?1rm2?2
5-3 若系统单位阶跃响应 试求系统频率特性。
1.80.836??,s?4s?9s(s?4)(s?9)C(s)36??(s)?则 R(s)(s?4)(s?9)36频率特性为 ?(j?)?
(j??4)(j??9) 解 C(s)??1sR(s)?1 s 5-4 绘制下列传递函数的幅相曲线：
解 (1))KK?j(??G(j)??e2
j??幅频特性如图解5-4(a)。 幅频特性如图解5-4(b)。 (3)KK?j(32?)G(j?)??3e 图解5-4 3(j?)?幅频特性如图解5-4(c)。
5-5 已知系统开环传递函数
试分别计算 ??0.5 和??2 时开环频率特性的幅值A(?)和相角?(?)。
解 G(j?)H(j?)?10
j?(1?j2?)((1??2?j0.5?)计算可得 ? ?
??(0.5)??153.435???(2)??327.53? 5-6 试绘制下列传递函数的幅相曲线。
5
(2s?1)(8s?1)10(1?s)G(s)? (2)
s25解 (1) G(j?)? 222(1?16?)?(10?)?A(0.5)?17.8885?A(2)?0.3835 (1) G(s)?取ω为不同值进行计算并描点画图，可以作出准确图形 三个特殊点： ① ω=0时， G(j?)?5,?G(j?)?00 ② ω=0.25时, G(j?)?2, ③ ω=∞时, G(j?)?0,?G(j?)??90? ?G(j?)??1800
幅相特性曲线如图解5-6（1）所示。
图解5-6（1）Nyquist图 图解5-6（2） Nyquist图
101??2(2) G(j?)?
?2,?G(j?)??1800 两个特殊点： ① ω=0时， G(j?)?? ② ω=∞时, G(j?)?0幅相特性曲线如图解5-6（2）所示。
5-7 已知系统开环传递函数 G(s)?,?G(j?)??900
K(?T2s?1)； K,T1,T2?0
s(T1s?1)当??1时，?G(j?)??180?，G(j?)?0.5；当输入为单位速度信号时，系统的稳态误差1。试写出系统开环频率特性表达式G(j?)。
解 G(s)?先绘制G0(s)??K(T2s?1)
s(T1s?1)K(T2s?1)的幅相曲线，然后顺时针转180°即可得到G(j?)幅相曲
s(T1s?1)线。G0(s)的零极点分布图及幅相曲线分别如图解5-7(a)、(b)所示。G(s)的幅相曲线如图解5-7(c)所示。
依题意有： Kv?limsG(s)?K， essv?1K?1，因此K?1。
s?0T1?T2)(T1?T2)另有： G(j1)?(1?jT2)(12?jT1)?1?T1T2?j(2??0.5 21?T11?T21?T2可得： T2?2，T1?1T2?0.5，K?1。 所以： G(j?)?1?j2?
j?(1?j0.5?)5-8 已知系统开环传递函数
试概略绘制系统开环幅相频率特性曲线。
解 G(j?)的零极点分布图如图解5 -8(a)所示。
??0??变化时，有
分析s平面各零极点矢量随??0??的变化趋势，可以绘出开环幅相曲线如图解5-8(b)所示。
5-9 绘制下列传递函数的渐近对数幅频特性曲线。
2；
(2s?1)(8s?1)200 (2) G(s)?2；
s(s?1)(10s?1)40(s?0.5) (3) G(s)? 2s(s?0.2)(s?s?1)20(3s?1) (4) G(s)?2
s(6s?1)(s2?4s?25)(10s?1)(1) G(s)?(5) G(s)?8(s?0.1)
s(s2?s?1)(s2?4s?25)2
(2s?1)(8s?1)解 (1) G(s)? 图解5-9（1） Bode图 Nyquist图
(2) G(s)?200
s2(s?1)(10s?1) 图解5-9（2） Bode图 Nyquist图
(3) G(s)?40(s?0.5)?s(s?0.2)(s2?s?1)100(2s?1)ss(?1)(s2?s?1)0.2
图解5-9（3） Bode图 Nyquist图
(4) G(s)?20(3s?1)
s2(6s?1)(s2?4s?25)(10s?1) 图解5-9（4） Bode图 Nyquist图
0.8?1?s?1??8(s?0.1)25?0.1? (5) G(s) ?222s(s?s?1)(s?4s?25)??1??4s(s2?s?1)??s??s?1?25??5????图解5-9（5） Bode图 Nyquist图
5-10 若传递函数
式中，G0(s)为G(s)中，除比例和积分两种环节外的部分。试证
式中，?1为近似对数幅频特性曲线最左端直线（或其延长线）与0dB线交点的频率，如图5－77所示。
证 依题意，G(s)近似对数频率曲线最左端直线(或其延长线)对应的传递函K数为v。
sK题意即要证明v的对数幅频曲线与0db交点处的频率值?1?Kv。因此，令
s1KKv??1?Kv，证毕。 20lg?0，可得 v?1, 故 ?1?K,v?1(j?)1 5-11 三个最小相角系统传递函数的近似对数幅频特性曲线分别如图5-78(a)、(b)和(c)所示。要求： （1）写出对应的传递函数；
（2）概略绘制对应的对数相频特性曲线。
图 5－78 5－11题图
解 (a) 依图可写出：G(s)?(Ks其中参数：
?220lgK?L(?)?40db，
?1?1)(s
?1)K?100
则： G(s)??1?2 图解5-11（a） Bode图 Nyquist图
K(s100
11(s?1)(s?1) (b) 依图可写出 G(s)?s2(?1s?1)
?1)K??0??1?C
2?2图解5-11（b） Bode图 Nyquist图
K?sG(s)? (c)
ss(?1)(?1)?2?3图解5-11（c） Bode图 Nyquist图 5-12 已知G1(s)、G2(s)和G3(s)均为最小相角传递函数，其近似对数幅频特性曲线如图5-79所示。试概略绘制传递函数 的对数幅频、对数相频和幅相特性曲线。
L1(?)?20lgK1?45.11 解：(1) ?则： G1(s)?K1 (2) G2(s)?K2 ss(?1)0.8图5-79 5-12题 20lgK2/??20lg(3) ? (4) ?K2?0 , K2?1 1L3(?)?20lg?K3?20lg0.111K3?0
G4(s)?G1G2
1?G2G318将G1,G2,G3代入得：G4(s)?
s(0.125s?1)对数频率特性曲线如图解5-12(a)所示,幅相特性曲线如图解5-12(b)所示：
图解5-12 (a) Bode图 (b) Nyquist图 5-13 试根据奈氏判据，判断题5-80图(1)～(10)所示曲线对应闭环系统的稳定性。已知曲线(1)～(10)对应的开环传递函数如下（按自左至右顺序）。
解 题5-13计算结果列表 闭环 题 稳定备开环传递函数 号 性 注
《自动控制原理》 卢京潮主编 课后习题答案 西北工业大学出版社
