立体几何
阅卷案例 (2024·全国卷Ⅰ，T18，12分)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD．△ABC6是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝6DO. 思维导图 (1)证明：PA⊥平面PBC； (2)求二面角B-PC-E的余弦值. 本题考查：直线与平面的垂直关系、二面角的余弦值等知识，逻辑推理、直观想象等核心素养. 答题模板 第1步：证垂直 借助几何图形中的数量关系及几何关系证明线线垂直进而证明线面垂直. 第2步：建系写坐标 建立恰当的坐标系，写出需要的坐标. 标准解答 踩点得分 ??←???←?1?不妨设圆O的半径为1，连接OB，OC，PB.则OA＝OB＝OC＝1，AE＝AD＝2，AB＝BC＝AC＝3，DA2－OA2＝3，PO＝PO2＋AO2＝62DO＝，62DO＝PA＝PB＝PC＝6，2在△PAC中，PA2＋PC2＝AC2，故PA⊥PC，3分同理可得PA⊥PB，又PB∩PC＝P，故PA⊥平面PBC.5分 第(1)问得分点及说明： 1.借助数量关系得出PA⊥PC得3分. 2.证明PA⊥平面PBC得2分，不说明“PB∩PC＝P”扣1分. 第3步：求向量 求平面的法向量或直线的方向向量. 第4步：求夹角 计算向量的夹角. 第5步：下结论 把向量结果几何化. ??B(23，1，0)，2?31?C(－2，2，0)，?P(0，0，22)，??E?0，1，0?，6分?2?建立如图所示的空间直角坐标系，则有 第(2)问得分点及说明： 1.正确建系并坐标书写正确得1分. 2.正确求得平面PBC及平面PCE 的法向量各得1???←?????→31312故BC＝?－3，0，0?，CE＝(，，0)，CP＝(，－，)，7分22222→→设平面PBC的法向量为m＝?x，y，z?，则→m·BC＝－3x＝0，→312m·CP＝x－y＋z＝0，222 25.12分 5令y＝2，∴m＝?0，2，1?，8分同理可求得平面PCE的法向量为n＝?2，－6，－23?，10分 分. 3.二面角余弦值求解正确得1分. 4.建系不同，只需结果正确各步骤相应给分. ←故cos θ＝|m·n|25＝，11分 5|m||n|←即二面角B-PC-E的余弦值为命题点1 空间平行、垂直关系的证明 平行关系、垂直关系证明的两种思路 思路一：(几何法)空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化． 思路二：(坐标法)设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则 (1)线面平行 l∥α?a⊥μ?a·μ＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (2)线面垂直 l⊥α?a∥μ?a＝kμ?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2. (3)面面平行 α∥β?μ∥v?μ＝λv?a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3. (4)面面垂直 α⊥β?μ⊥v?μ·v＝0?a2a3＋b2b3＋c2c3＝0. [高考题型全通关] 1．如图，在直三棱柱ADE-BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，点M为AB的中点，点O为DF的中点．运用向量方法证明：
(1)OM∥平面BCF； (2)平面MDF⊥平面EFCD．
[证明] 法一：(1)由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以点A为原点建立
2024新高考数学 专题 精讲3 立体几何
