4、定积分
? b adx(a?b)在几何上表示（ ） A.线段长a?b B.线段长b?a
C.矩形面积?a?b??1 D.矩形面积?b?a??1 5、设f(x)在??a,a?上连续，且为偶函数，?(x)?? x 0f(t)dt，则( )
A.?(x)是奇函数 B. ?(x)是偶函数
C. ?(x)是非奇非偶函数 D. ?(x)可能是奇函数，也有可能是偶函数
x2 xf(t)dt，则limF(x)等于（ ） 6、设f(x)为连续函数，a?0，F(x)?? ax?ax?aA.a B.a2f(a) C.0 D.不存在
二、计算： 1、求F(x)?2? x3dt1?t4 x2的导数。 2、
? 4dx1?x 1
3、
? 5 ? 2x?2x?3dx 4、
2? ??1xx?1 2dx
三、应用题：1、求曲线xy?1及直线y?x、y?2所围成的平面图形的面积；
2、把抛物线y?4ax及直线x?x0(x0?0)所围的图形绕轴旋转，计算所得旋转抛物体的体积。
2第六部分 向量代数与空间解析几何 考核知识点
1.向量的概念：向量的定义；向量的模；单位向量；向量在坐标轴上的投影向量的坐标表示；向量的方向余弦
2.向量的线性运算：向量的加法；向量的减法；向量的数乘运算 3.向量的数量积：二向量的夹角；二向量垂直的充分必要条件 4.二向量的向量积：二向量平行的充分必要条件 考核要求
1.理解向量的概念。掌握向量的坐标表示法，了解单位向量，方向余弦、向量在坐标轴上的投影。
2.掌握向量的线性运算、向量的数量积、二向量的向量积的运算方法。 3.会判定二向量的平行与垂直。
练习6.1（向量及其线性运算，空间直角坐标系）
????1、判断对错：设a?3,b?2，则a?b。（ ）
2、点（-1，-2，-3）第 卦限；
16
??????????3、u?a?b?2c,v??a?3b?c，则2u?3v= ；
4、在z轴上点 与M1(1,2,3)和M2(?2,?1,1)的距离相等。 计算：5、求证以为O(0,0,0),A(1,1,0),B(0,1,1)顶点的三角形是等边三角形。 6、用向量法证明三角形的中位线定理。
练习6.2（向量的坐标）
??????1、已知向量a??1,?1,1?,b??2,?3,1?,c???1,0,1?，求向量3a?b?2c的坐标表示式
为 ；
????????????????2、设m?3i?5j?3k,n?2i?4j?7k,p?5i?j?4k，则向量a?4m?3n?p的分
解式为 ；
3、已知两点M1(0,1,2),M2(1,?1,0)，则向量M1M2= ，
????2M1M2= 。
4、平行于向量a??6,7,?6?的单位向量为 。
计算：5、已知M(2,2,2),N(1,3,0)，求向量MN的模、方向余弦、方向角和单位向量。 练习6.3（向量的数量积、向量积）
1、判断下列各组向量是否平行或垂直：
?????????????（1）2i?j?3k,4i?2j?6k； ；（2）?2,0,?3?,?3,1,2?； ；
??????2?b?4，求a?b. 计算：2、已知向量a、b之间的夹角??，且a?3、3????????3、已知向量a?b，且a?3,b?4,试计算a?2b?3a?b。
????4、已知OA??1,0,3?,OB??0,1,3?，求?OAB的面积。
?????????5、已知三点M1(1,0,3),M2(3,3,1),M3(3,1,3)，求与M1M2、 M2M3同时垂直的单位向量。6、设质量为100千克的物体从点M1(3,18)沿直线移动到点M2(1,4,2)，试计算重力所做的功（长度单位为米，重力方向为z轴负方向，取重力加速度为9.8ms。）
考核知识点
1.常见的平面方程：点法式方程；一般式方程 2.两平面的关系
3.空间直线方程：标准式方程(又称对称式方程或点向式方程)；一般式方程；参数式方程
4.两直线的关系；直线与平面的关系
2??? 17
考核要求
1.掌握平面的点法式方程、一般式方程。会判定两平面的垂直、平行。
2.掌握直线的标准式方程、参数式方程、一般式方程。会判定两直线平行、垂直。 3.会判定直线与平面间的关系(垂直、平行、直线在平面上)。
练习6.4（平面与空间直线）
1、已知平面在x、y、z轴上的截距为1、2、3，，则其方程为 ； 2、点?2,1,1?到平面x?y?z?1?0的距离为 ；
3、平行于y轴且过点P 1,?5,1?及P2?3,2,?2?的平面方程为 ；1?2x?y?z?5?0的夹角为 ； 4、两平面x?y?2z?6?0、?x?y?z?1?05、直线?的对称式方程为 ；
2x?y?3z?4?0?6、直线L1:x?1yz?3xy?2z???与直线L2:?的夹角?为 。 1?412?2?1计算：7、求平行于平面2x?8y?z?2?0且经过点M(3,0,?5)的平面方程。 8、求过M?3,0,?1?且平行于平面x?z?0及3x?y?z?0的直线方程。
?x?1y?3??9、求一直线方程，使之过点A(2,?1,?3)且平行于直线?25。
??z?1考核知识点
球面；母线平等于坐标轴的柱面；旋转抛物面；圆锥面；椭球面 考核要求
了解球面；母线平等于坐标轴的柱面；旋转抛物面；圆柱面和椭球面的方程及其图形。
练习6.5（曲面与空间曲线）
1、写出适合下列条件的旋转曲面方程：
?3x2?2y2?6（1）把曲线?绕y轴旋转一周； ；
z?0?（2）把曲线??z?siny绕y轴旋转一周； ；
?x?02、指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形：
（1）x?2 、 ； （2）y?x?1 、 ； （3）x?y?4 、 ； （4）x?y?1 、 .
18
2222
计算：3、一动点与点P(1,2,3)的距离是它到平面x?3的距离的 自 测 题 6
13，试求动点的方程。
????一、选择：1、向量a?b与二向量a、b的位置关系是( ) A.共面 B.共线 C.垂直D.斜交
2、设向量a与三轴正向夹角依次为?、?、?，当cos??0时有( ) A.a//xoy面 B. a//yoz面 C. a//xoz面 D. a?xoy面 3、设平面方程为Bx?Cz?D?0，且B、C、D?0，则平面（ ） A.平行于x轴 B.平行于y轴 C.经过y轴 D.垂直于y轴
??????????????、b?2、c?3，则a?b?c的长度是( ) 4、向量a、b、c两两垂直，且a?1 A.6 B.14 C.14 D.16 5、设直线方程为??Ax?By?Cz?D?0，且A、B、C、D、E、F?0，则直线（ ）
?Ey?F?0xy?5z?10??的交点是( ) ?137 A.过原点 B.平行于z轴 C.垂直于y轴 D.平行于x轴 6、曲面z?xy?yz?5x?0与直线
2 A.(1,2,3)、（2，-1，-4） B.（1，2，3） C.(2,3,4) D. （2，-1，-4）
?x2?y2?167、已知球面经过（0，-3，1）且与xoy面的交成圆周?，则此球面的方程是
?z?0（ ） A.x?y?z?6z?16?0 B. x?y?z?16z?0
C. x?y?z?6z?16?0 D. x?y?z?6z?16?0
8、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是（ ）
222222222222y2x2?y2z22???1 ?z?1 D. A.x?y?z?1 B.x?y?4z C.x?9164222222?????????b?5，求a?2b?a?3b。 二、计算：1、求与向量a、b的夹角等于，且a?2、3??2、设平行四边形二边为向量a??4,?3,4?、b??2,?1,3?，求其面积。
????3、求通过直线
x?1y?2z?2??且垂直于平面3x?2y?z?5?0的平面方程。 232?2x?4y?z?1、L24、求过点（-1，-4，3）并与两直线L1:??x?3y??5?x?2?4t?:?y??1?t都垂直的直线?z??3?2t?19
方程。
????????三、证明：已知a、b为两非零不共线向量，求证：a?b?a?b?2a?b。
??????
第七部分 多元函数微积分学
考核知识点
1.二元函数：多元函数的定义；二元函数的几何意义；二元函数的定义域 2.二元函数的极限与连续：二元函数极限的概念；二元函数的连续的概念 3.偏导数与全微分：偏导数；全微分；二阶偏导数 4.复合函数的偏导数 5.隐函数的偏导数 考核要求
1.了解多元函数的概念，二元函数的几何意义和定义域。了解二元函数极限与连续概念(对计算不作要求)。
2.理解偏导数概念，了解全微分概念，知道全微分存在的必要条件和充分条件。 3.掌握二元初等函数的一、二阶偏导数的计算方法。 4.掌握复合函数一阶偏导数求法(含抽象函数)。 5.会求二元函数的全微分(含抽象函数)。
6.掌握由方程F(x,y,z)?0所确定的隐函数z?z(x,y)的一阶偏导数的计算方法。
练习7.1（多元函数的基本概念）
1、设z?f(xy)?xsin(xy)，若当x?1时，有z?y，则z? 。 2、用不等式表示由y?x、x?2、y?1所围成的平面区域 。
223、函数z?ln(4?x?y)?x2?y2?1 的定义域为 。
4、f(x,y)?sin1的间断点为 。
x2?y2?1xy?1?12xy3x?yxlimlim计算：5、 6、 7、 8、 limlimarctanx?1x2?y2x?0x?0x?yx?0xyyy?4y?0y?0y?0练习7.2（偏导数）
21、求f(x,y)?arctan在点（0，1）处的偏导数。 2、已知z?sin(xy)?y的偏导数。
xy3、求u?xyz的偏导数。 4、求f(x,y)?sin(x?2y)的二阶偏导数。
2?xy22,x?y?0?225、求函数z??x?y在点(0,0)的偏导数。
?0,x2?y2?0?
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湖南工业大学“专升本”高等数学考试大纲及习题资料
