法。
5.会求简单有理函数的不定积分(分解定理不作要求)。
练习4.1（不定积分的概念与性质） 判断对错：1、y?ln(ax)与y?lnx是同一个函数的原函数。 （ ） 2、若
?f(x)dx??g(x)dx，则f(x)?g(x)。 （ ）
3、若f(x)是周期函数，则4、已知
?f(x)dx也必是周期函数。 （ ）
?f(x)dx?F(x)?C，那么?f[g(x)]dx?F[g(x)]?C.（ ）
选择：5、（ ）即f(x)。 A.dx6、edx?（ ） A.e??f(x)dx B.?df(x) C.
??f(x)dx?? D.?f(x)dx
?xC1xx2x B.e?C C.e?C D.e? 2C7、若f(x)的导函数是sinx，则有一个原函数是( )
A.1?sinx B.1?sinx C.1?cosx D.1?cosx
1?x?x2计算：8、??e?3cosx?dx 9、?dx
x(1?x2)x练习4.2（第一类换元积分法即凑微分法）
1、
?cosxx dx?? dx； 2、?xf(2?x2)dx?? d2?x2；
??3、
?arcsinxx?x2dx??arcsinxd ；4、?arccosx1?x2 dx???arccosxd ；
5、
lnsinxdxdx?lnsinxd ；6、 ?sin2x??cos2xtanx?1??d ；
7、
?dxx(4?x)??d ；8、?x2d?f(x)?1??f(x)?22? 。
exdx； 计算：9、?2cos2xdx； 10、?xedx；11、?sinxcosxdx； 12、?1?e2x 13、
lnxcotx12dxdxx1?2xdx； 14、； 15、； 16、?x?lnsinx??4?9x2dx
练习4.3（第二类换元积分法）
1、当被积函数含有x2?a2时，可考虑令（ ）
11
A.asint B.atant C.asect D.acost 2、要通过令2x?1?t使
n?x?62x?142x?1dx化为有理函数的积分，n应取（ ）
A.4 B.6 C.12 D.24 计算：3、
?1?13xdx 4、?x24?x2dx 5、?1x?x4dx 6、?x2?2dx x练习4.4（分部积分法）
1、lnxdx= ； 2、sin3、f(x)的原函数是4、已知
??xdx= ；
sinx，则?xf?(x)dx= ； x?f(x)dx?xex?ex?C，则?f?(x)dx= ；
x计算：5、xedx 6、arccosxdx 7、xlnxdx
???23x8、xcos2xdx 9、ecos2xdx
??自 测 题 4
一、选择
1、设F1(x)、F2(x)是区间I内连续函数f(x)的两个不同的原函数，且f(x)?0，则在区间I内必有（ ）A. F1(x)?F2(x)?C B. F1(x)F2(x)?C
C. F1(x)?CF2(x) D. F1(x)?F2(x)?C
2、若F?(x)?f(x)，则dF(x)?（ ）
A.f(x) B.F(x) C.f(x)?C D.F(x)?C 3、f(x)在某区间内具备了条件（ ）就可保证它的原函数一定存在。 A.有极限存在 B.连续 C.有界 D.有有限个间断点 4、下列结论正确的是（ ）
A.初等函数必存在原函数 B.每个不定积分都可以表示为初等函数 C.初等函数的原函数必定是初等函数 D.A、B、C都不对 5、已知一个函数的导数为y??2x，且x?1时y?2，这个函数是( )
?x2?C D. y?x?1 A.y?x?C B. y?x?1 C. y?2226、f(x)dx?F(x)?C，且x?at?b，则
? A. F(x)?C B. F(t)?C ?f(t)dt?（ ）
12
1F(at?b)?C D. F(at?b)?C asinxxcosx?sinxcosx?C。7、?（ ）dx? A.1 B. C. D. cosx2?2xx?x C. 8、
??4x?1?dx101111（ ） A.? B. ??C??C 999?4x?1?36?4x?1?C. ?1111 D. ??C???C 1136?4x?1?936?4x?1?二、计算：1、
11dxdxcosdx 2、 3、?x2x?x2?2x?5?1?1?x2 4、?arctanxdx
b2x三、已知曲线上任意点的切线斜率为2，并且过点??2,1?，试求该曲线的方程。
a
第五部分 定积分 考核知识点
1.定积分的概念：定积分的概念及其几何意义；定积分的性质 2.变上限的积分及其求导定理；牛顿—莱布尼茨公式
3.定积分的应用：平面图形的面积；旋转体体积；物体沿直线运动时变力所做的功 4.无穷区间的广义积分：收敛；发散；计算方法 考核要求
1.理解定积分的概念与几何意义。 2.理解定积分的性质。
3.理解变上限积分为其上限的函数及其求导定理。掌握对上限函数
?xaf(t)dt进行分析
运算。
4.熟练掌握牛顿·莱布尼茨公式。
5.掌握用定积分的换元法和分部积分计算定积分。
6.掌握用定积分求平面图形的面积和简单的封闭平面图形绕坐标轴旋转所成旋转体体积。会用定积分求沿直线运动时变力所做的功。
7.了解广义积分积分。
练习5.1（定积分的概念与性质）
1、积分中值定理
???af(x)dx,?f(x)dx,???b????会求上述广义f(x)dx收敛与发散的概念。
? b af(x)dx?f(?)(b?a)，其中（ ）
A.?是?a,b?内任一点 B. ?是?a,b?必定存在的某一点
C. ?是?a,b?内惟一的某一点 D. ?是?a,b?的中点
13
2、设f(x)在?a,b?上连续，且
? b af(x)dx?0，则（ ）
A.在?a,b?的某个子区间上，f(x)?0； B. 在?a,b?上，f(x)?0；
C. 在?a,b?内至少有一点c，f(c)?0； D. 在?a,b?不一定有x，使f(x)?0。
d 223、sinxdx? ； ? 0dx计算：4、比较
?? 1 0xdx与?xdx的大小。 5、不计算定积分，估计? 02 132 0 ?1dx的值。
1?sin2x练习5.2（N-L公式）
1、设f(x)在?a,b?连续，?(x)?? x af(t)dt，则（ ）
A.?(x)是f(x)在?a,b?上的一个原函数B. f(x)是?(x)在?a,b?上的一个原函数
C. ?(x)是f(x)在?a,b?上唯一的原函数D. f(x)是?(x)在?a,b?上唯一的原函数 2、
? 2 ? 2maxx3,x2,1dx?（ ） A. 0 B. 4 C.
??1697 D. 3123、f(x)?? x2 0tln(1?t)dt，g(x)??arcsindt，则当x?0时，f(x)是g(x)的( )
2x 2 0A.同阶无穷小，但不等价 B.等价无穷小 C.低阶无穷小 D.高阶无穷小
d? x22?4、?? 1t1?tdt?? ；
dx???x? tsintdt? 0dy?y5、设方程组?确定了是的函数，则= 。 x tdx?y??costdt 0?计算：6、
?2 0 ?? lnx??sinx?cosxdx 7、??ln(1?t)dt? ? 2x?8、f(x)?? 2?x, 0?x?1，求?f(x)dx。
0?2?x,1?x?2练习5.3（定积分的换元积分法与分部积分法）
1、下列积分中不为零的是（ ） A.
sinx? ??21?x10dx B.
2?? ? ? ?cosx?sinxdx
2 14
C.
2?21 21 ? 2 ?1?x?cosxdx 1?xlnarcsinx2dx D.?2? ? 1?x1?sin2x2??? 2?2、
? ? 2e?xdx?（ ） A.
?2e?udu2 B.?e?tdt C. 2?e?xdx D.2?e?xdx
?2 2 ?24 2 02 02计算：3、
?? 11x1?lnx2 edx 4、
1x? 9dxx?1 4 5、
e?1 2 0x21?x2dx
6、
? 0xcosxdx 7、?edx 8、?sin(lnx)dx
0 1练习5.4（反常积分）
计算：1、
? ?? e ??2x a ??lnxdxdx 2、?xe?xdx 3、?dx 4、 2? ?? 0 022xx?1a?x5、求曲线y?e?x、直线x?1及x轴所围成图形位于x?1部分的面积。
练习5.6（平面图形的面积）
计算：1、求y?x,y?x2(1?x?4)所围图形面积。
2、由y?x,y??2x和x?c所围面积为6，求大于零的c。 3、求y2?x与x2?y2?2(x?0)半圆所围图形的面积。 4、求阿基米德螺线r?a?(0???2?)和极轴所围的面积。
练习5.7（体积）
计算：1、求y?2x?4?2?x?4?所围成区域绕x轴旋转所形成的立体体积。
2、求y?1?x?0?x?1?所围成区域绕y轴旋转所形成的立体体积。
3、求y?x,x?1,y?0所围成区域绕y轴旋转所旋转所产生的旋转体的体积。 4、计算曲线y?e与x轴之间位于第二象限的平面图形绕x轴旋转产生的旋转体体积。
自 测 题 5
一、填空或选择
1、设f(x)?1?sinx，函数在区间?0,
x2???
上的平均值y= ； ??2?
d x2ln(t?1)dt= ； 2、
dx? 03、已知f(0)?1,f(2)?3,f?(2)?5，则?xf??(x)dx= ；
0 2 15
湖南工业大学“专升本”高等数学考试大纲及习题资料
