第一部分 函数、极限与连续 考核知识点
1.函数的概念：函数的定义；函数的表示法；分段函数 2.函数的简单性质：有界性；单调性；奇偶性；周期性 3.反函数：反函数的定义；反的函数的图形
4.基本初等函数及其图形：幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 5.复合函数 6.初等函数 考核要求
1.理解函数的概念(定义域、对应规律)。理解函数记号f(x)的意义并会运用。熟练掌握求函数的定义域、表达式及函数值。会建立简单实际问题中的函数关系式。
2.了解函数的几种简单性质，掌握函数的有界性、奇偶性的判别。 3.掌握基本初等函数及其图形的有关知识。
4.理解复合函数概念。掌握将一个复合函数分解为基本初等函数或简单函数的复合方法。
练习1.1（函数） 1、设y?u，u?2?v2,v?sinx,将y表示成x的函数表达式为 。 2、与f(x)?3、函数f(x)?x2等价的函数是（ ） A.x B.
x在定义域内为（ ） 21?x?x? C.?x? D.x
233A.有上界无下界 B.无上界有下界
11?f(x)? D.有界，?2?f(x)?2 222x?124、函数y?x?x?6?arcsin的定义域为 。
7C.有界，且?判断对错：5、分段函数都不是初等函数。（ ） 6、函数f(x)???1,当x为有理数?0,当x为无理数2是周期函数。（ ）
计算：7、下列函数可以看成由哪些简单函数复合而成：
(1) y?arccose?x （2）y?ln[ln(lnx)]
3?1?，当0?t?208、设g(x)?3?x,f(t)??20 ，求g(f(t))、f(g(x)).
?其它?0, 考核知识点
1.数列的极限：数列极限的定义；数列极限的性质；数列极限的四则运算法则
2.函数的极限：函数极限的定义；左极限与右极限的概念；自变量趋向于有限值时函数极限存在的充分必要条件；函数极限的四则运算法则两个重要极限
1
1lim(1?)x?ex??xlimsinx?1
x?0x3.无穷小量和无穷大量：无穷小量和无穷大量的定义；无穷小量和无穷大量的关系；无
穷小量的性质
考核要求
1.了解极限概念(对极限定义的“??N”，“???”等形式的描述不作要求)，了解左极限与右极限概念，知道自变量趋向于有限值时函数极限存在的充分必要条件。
2.掌握极限四则运算法则。
3.掌握用两个重要极限求极限的方法。 4.了解无穷小量、无穷大量的概念。知道无穷小量的性质，无穷小量与无穷大量的关系。
练习1.2（数列的极限） 1、limn2n?1。 2、lim2?42?82???22。
n??5n?2n????3、lim[(1?x)(1?x)(1?x)?(1?x)],其中x?1. 4、lim1?2?3n??n??242n?n1nn?.
练习1.3（函数的极限）
1x2?4? ；3、limcosx= ；1、lim= ； 2、lim
x?0x??1?xx?2x?24、limarctanx? ；5、limlnx? 。
x? ??x?1判断对错：6、y?tanx,则x??时，y的极限存在。（ ） 27、y?cosx,则x??时，y的极限存在。（ ）
?x?4,x?1的f(1?0)及f(1?0)，并确定limf(x)是否存在？
x?12x?1,x?1?计算：8、求函数f(x)???x3,x?1??x,x?19、设f(x)??，g(x)??，试讨论f[g(x)]在x?1处的极限。
?2x?1,x?1?3?x,x?110、证明：用求左右极限证明limx?0,而limx?0x?0x不存在。 x练习1.4（无穷小与无穷大，极限的运算法则）
判断对错：1、无穷小量与一个非无穷小量的和、差、积为无穷小量。 （ ） 2、两个非无穷小量的和、差、积、商一定不是无穷小量。 （ ） 3、两个无穷小的商一定是无穷小。 （ ） 4、若f(x)为无穷小量，则1f(x)一定为无穷大量。 （ ） 5、计算下列极限
x3?11??3x?cosx （1）lim2 (2)lim??? （3）limx?0x?2x?5x?3x?11?x31?x?? 2
x3?3x?21?x?1?x2(4)lim4 （5） lim x??x?x2?3x?01?x?1练习1.5（两个重要极限，无穷小的比较）
判断对错
sinxsinxsin2x?1 ( ) 2、lim?1 ( ) 3、lim?1 ( ) 1、limx?1x??x?0xxxlimx?sin4、
x?01sin(x?1)1?1 ( ) 5、lim?1 ( ) 6、limx?sin?1 ( )
x?1x??xx?1x计算：7、lim?1??x???(1?x)?1cosx?1tanx?sinx1?lim 9、lim 10、 ? 8、limx?0x?0x?0xcosx?1sin3xx?x123考核知识点
1.函数连续的概念
函数在一点连续的定义 左连续与右连续 函数(含分段函数)在一点连续的充分必要条件 函数的间断点及其分类
2.连续函数的运算与初等函数的连续性 3.闭区间上连续函数的性质
有界性定理 介值定理(包括零点定理) 最大值与最小值定理 考核要求
1.理解函数在一点连续与间断的概念。掌握判断简单函数(含分段函数)在一点的连续性。了解函数在一点连续与在一点极限存在之间的关系。
2.掌握求函数的间断点及确定其类型。 3.了解初等函数在其定义区间的连续性。了解在闭区间上连续函数的性质，会运用介值定理推证一些简单命题。
练习1.6（函数的连续性和间断点）
x?sin?x,x?0?1、当?= 时，f(x)???,x?0在其定义域内连续。
?1?xsin?1,x?0x?x2?12、x?1是f(x)?2的 型间断点；补充定义f(1)? ，
x?3x?2则f(x)在x?1处连续。
?2x,0?x?13、判断对错：f(x)??在?0,2?上连续。（ ）
3?x,1?x?2?4、求极限：（1） lim1?x （2）limx?22x?3x?3
x2?9 3
5、证明证明方程x?4x?1?0在区间（0，1）至少有一个根。
自 测 题 1
一、选择或填空
1、函数y?1?x?arccos32x?1的定义域是( ) 2 A.x?1 B.?3?x?1 C.(-3,1) D.xx?1?x?3?x?1 2、函数f(x)???????x?3,?4?x?0?x?1,0?x?32的定义域是（ ）
A.?4?x?0 B.0?x?3 C.（-4，3） D.x?4?x?0?x0?x?3 3、函数y?xcosx?sinx是（ ）
A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.奇偶函数 4、函数f(x)?1?cos?????x2的最小正周期是（ ） A. 2? B. ? C. 4 D.
12a0xm?a1xm?1???ama05、设a0、b0?0，则当（ ）时，有lim ?x??bxn?bxn?1???bb001n A. m?n B. m?n C. m?n D. m、n任意取 6、设f(x)???x?1,?1?x?0，则limf(x)?（ ）A. -1 B. 1 C. 0 D.不存在
x?0?x,0?x?127、当x?0时，与sinx等价的无穷小量是（ ）
1?x) B. tanx C.2(1?cosx) D.ex?1 A.ln(8、已知数列?xn??[1?(?1)n]n，则（ ）
A. limxn?0 B. limxn?? C. limxn?? ，但无界 D. 发散，但有界
n??n??n????9、若极限limf(x)?a（常数），则函数f(x)在点x0（ ）
x?x0 A.有定义且f(x0)?a B.不能有定义
C.有定义，但f(x0)可以为任意数值 D.可以有定义也可以没有定义
?sinax,x?110、函数f(x)??在x?1处连续，则a? . a(x?1)?1,x?1? 4
1?x?22n2?n?1lim(1?x) 4、lim二、计算：1、 2、 3、limlimx?0x???x?3n??(1?n)2x?32xx2sin1x 2x2?1三、证明奇次多项式P(x)?a0x2n?1?a1x2n???a2n?1(a0?0)至少存在一个实根。
第二部分 导数与微分 考核知识点
导数的定义 函数的可导性与连续性的关系 导数的几何意义与物理意义 2.导数的四则运算法则 导数的基本公式 3.求导方式
复合函数的求导法 隐函数的求导法 对数求导法 由参数方程确定的函数的求导法 4.高阶导数的概念 5.微分
微分的定义 微分的几何意义 微分与导数的关系 微分法则 一阶微分形式不变性 考核要求
1.理解导数概念。知道导数的几何意义及了解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握求曲线上一点处的切线方程与法线方程。
3.熟练掌握导数基本公式及导数的四则运算法则。熟练掌握复合函数的求导方法。 4.掌握求隐函数及由参数方程所确定的函数的一阶导数的方法。会使用对数求导法。 5.了解高阶导数的概念，掌握初等函数的二阶导数求法。
6.理解函数的微分概念及微分的几何意义。掌握微分运算法则。会求函数(含隐函数)的微分。
练习2.1（导数的概念） 1、f(x)?x,则其导函数定义域为（ ） A.x?0 B.x?0 C.x?0 D.x?0
2、设函数f(x)在点x0不可导，则( )
A.f(x)在点x0没有切线 B. f(x)在点x0有铅直切线 C. f(x)在点x0有水平切线 D.有无切线不一定 3、若f(x)在x0处可导，则limh?0f(x0?h)?f(x0)=( )
h A.?f?(x0) B. f?(?x0) C. f?(x0) D. ?f?(?x0)
4、初等函数在其定义域区间内是（ ） A.单调的 B.有界的 C.连续的 D.可导的 5、设函数f(x)?(x?a)?(x)，其中?(x)在a点连续，则必有（ ） A.f?(x)??(x) B. f?(a)??(a)
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湖南工业大学“专升本”高等数学考试大纲及习题资料
