9.曲线y??x0tantdt(0?x??4)的弧长s=____________
10.微分方程y??y?e?xcosx满足条件y(0)=0的解为y=____________ 11.设函数F(x,y)??xy0sint2?Fdt，则
1?t2?x2x?0?__________
12.设L是柱面方程为x2?y2?1与平面z=x+y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分
y2_ ?xzdx?xdy?2dz?__________213.若二次曲面的方程为x2?3y2?z2?2axy?2xz?2yz?4，经正交变换化为y1则a?_______________ ?4z12?4，
三、解答题
ln(1?x)ex?1)15求极限lim(
x?0x16设z?f(xy,yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1,求
1?2z?x?y17求方程
x?1,y?1
karctanx?x?0不同实根的个数，其中k为参数。
111?ln(1?)? n?1nn2）设an?1?18证明：1）对任意正整数n，都有
11????lnn(n?1,2,?),证明{an}收敛。 2n19已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)=0,f(x,1)=0,计算二重积分I???f(x,y)dxdy?a，其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}，
D??xyf??(x,y)dxdy
xyD20.?1?(1,0,1)，?2?(0,1,1)，?3?(1,3,5)T不能由?1?(1,a,1)，?2?(1,2,3)，?3?(1,3,5)T线性表出， ?求a；?将?1，?2，?3由?1，?2，?3线性表出。
TTTT?11???11?????21.A为三阶实矩阵，R(A)?2，且A?00???00?
??11??11?????
（1）求A的特征值与特征向量；（2）求A。 22. X P 0 1/3 1 2/3
26
Y P -1 1/3 0 1/3 1 1/3 P(X2?Y2)?1
求：（1）（X，Y）的分布；（2）Z=XY的分布；（3）?XY
23.设x1,x2,?xn为来自正态总体N(?0,?)的简单随机样本，其中?0已知，??0未知，x和S2分别表示样本均值
22_和样本方差。
1）求参数?的最大似然估计? 2）计算E(?)和D(?)
^2^22^22012数学（一）试题
一、选择题：第1~8小题，每小题4分
x2?x（1）曲线y?2渐近线的条数
x?1（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
（2）设函数y(x)?(ex?1)(e2x?2)???(enx?n)，其中n为正整数，则y'(0)= （A）(?1)n?1(n?1)! （B）(?1)n(n?1)! （C）(?1)n?1n! （D）(?1)nn! （3）如果函数f(x,y)在（0,0）处连续，那么下列命题正确的是 （A）若极限limx?0y?0f(x,y)存在，则f(x,y)在（0,0）处可微
x?y（B）若极限limf(x,y)存在，则f(x,y)在（0,0）处可微
x?0x2?y2y?0f(x,y)存在
x?y（C）若f(x,y)在（0,0）处可微，则极限limx?0y?0（D）若f(x,y)在（0,0）处可微，则极限limkxf(x,y)存在
x?0x2?y2y?0（4）设Ik??0exsinxdx（k=1,2,3）则有
2（A）I1?I2?I3 （B）I3?I2?I1 （C）I2?I3?I1 （D）I2?I1?I3
?0??0??1???1?????????（5）设?1??0?，?2??1?，?3???1?，?4??1?，其中c1,c2,c3,c4为任意常数，则下列向量组线性相关的为
?c??c??c??c??1??2??3??4?（A）?1,?2,?3 （B）?1,?2,?4 （C）?1,?3,?4 （D）?2,?3,?4
27
?100????1（6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且PAP??010?,若P?(?1,?2,?3)，Q?(?1??2,?2,?3)则Q?1AQ=
?002????100??100??200??200?
????????（A）?020?（B）?010?（C）?010?（D）?020?
?001??002??002??001?????????
（7）设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则P?X?Y?= （A）
1124 （B） （C） （D） 535511 （C）? （D）?1 22（8）将长为1m的木棒随机的截成两段，则两段长度的相关系数为 （A）1 （B）
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题纸指定位置上
（9）若函数f(x)满足方程f''(x)?f'(x)?2f(x)?0及f''(x)?f(x)?2e，则f(x)= （10）
?20x2x?x2dx=
=
2zgrad(xy?)（11）
y（12）设
(2,1,1)????x,y,z?x?y?z?1,x?0,y?0,z?0?，则??yds=
?T（13）设?为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E???的秩为 （14）设A,B,C是随机文件，A与C互不相容，P(AB)?11,P(C)?,P(ABC)? 23三、解答题：15~23小题，共94分。请将答案写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
1?xx2?cosx?1?，(?1?x?1) （15）（10分）证明xln1?x2（16）（10分）求函数
f(x,y)?xe??x2?y22的极值
4n2?4n?32nx的收敛域及和函数 （17）（10分）求幂级数?2n?1n?0（18）（10分）已知曲线L:??x?f(t)' t∈[0,π/2﹚，其中函数f(t)具有连续导数，且f(0)?0,f(t)?0 t∈﹙0,π/2
?y?cost若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数f(t)的表达式，并求此曲线L与x轴与y轴无边界的区域的面积。
（19）（10分）已知L是第一象限中从点（0,0）沿圆周x?y?2x到点（2,0），再沿圆周x?y?4到点（0,2）
2222的曲线段，计算曲线积分J?
?3xL2ydx?(x3?x?2y)dy
28
?1?0（20）（11分）设A???0??a（Ⅰ）计算行列式A.
a00??1????1a0??1，????
?0?01a????001??0?（Ⅱ）当实数a为何值时，方程组Ax??有无穷多解，并求其通解.
?1?0?（21）（11分）已知A???1??0（Ⅰ）求实数a的值；
010a1??1?，二次型f(x1,x2,x3)?xT(ATA)x的秩为2 a???1?（Ⅱ）求利用正交变换x?Qy将f化为标准形 （22）（11分）设二维随机变量X、Y的概率分布为 X Y 0 1 2 0 1 40 0 1 40 1 1 30 2 1 121 12（Ⅰ）求P?X?2Y? （Ⅱ）求Cov(X?Y,Y)
（23）（11分）设随机变量X与Y相互独立分别服从正态分布N(?,?)与N(?,2?)，其中?是未知参数且?>0。
22设Z?X?Y
（Ⅰ）求Z的概率密度f(z,?)
（Ⅱ）设z1,z2,???,zn为来自总体Z的简单随机样本，求?的最大似然估计量? （Ⅲ）证明?为?的无偏估计量
22
2
22
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考研数学一历年真题(2002-2011)版)
