(7)设随机变量X的分布函数为F?x??0.3??x??0.7??(A)0
(B)0.3
(C)0.7
?x?1??,其中??x?为标准正态分布函数,则EX? 2??
(D)1
(8)设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正态分布N?0,1?,Y的概率分布为P?Y?0??P?Y?1??1,记2FZ?z?为随机变量Z?XY的分布函数,则函数FZ?z?的间断点个数为
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)
?2z(9)设函数f?u,v?具有二阶连续偏导数,z?f?x,xy?,则? .
?x?y(10)若二阶常系数线性齐次微分方程y???ay??by?0的通解为y??C1?C2x?e,则非齐次方程y???ay??by?xx满足条件y?0??2,y??0??0的解为y? .
(11)已知曲线L:y?x(12)设??2?0?x?2?,则?xds? .
L??x,y,z?x2?y2?z2?1,则???z2dxdydz? . ?T?(13)若3维列向量α,β满足αTβ?2,其中α为α的转置,则矩阵βαT的非零特征值为 . 2(14)设X1,X2,?,Xm为来自二项分布总体B?n,p?的简单随机样本,X和S分别为样本均值和样本方差.若
X?kS2为np2的无偏估计量,则k? .
三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
22(15)(9分)求二元函数f(x,y)?x2?y?ylny的极值.
??(16)(9分)设an为曲线y?x与y?x值.
nn?1?n?1,2,.....?所围成区域的面积,记S1??an,S2??a2n?1,求S1与S2的
n?1n?1??x2y2x2y2??1绕x轴旋转而成,圆锥面S2是过点?4,0?且与椭圆??1相切的直线(17)(11分)椭球面S1是椭圆4343绕x轴旋转而成.
(1)求S1及S2的方程. (2)求S1与S2之间的立体体积.
(18)(11分)(1)证明拉格朗日中值定理:若函数f?x?在?a,b?上连续,在(a,b)可导,则存在???a,b?,使得
f?b??f?aa. ??f?????b??f??x??A,则f???0?存在,且f???0??A. (2)证明:若函数f?x?在x?0处连续,在?0,?????0?内可导,且lim?x?0 21
(19)(10分)计算曲面积分I?????xdydz?ydzdx?zdxdy?x2?y2?z322?,其中
?是曲面2x2?2y2?z2?4的外侧.
??1??1?1?1?????1?,ξ1??1? (20)(11分)设A???11??2??0?4?2?????(1)求满足Aξ2?ξ1的ξ2.A2ξ3?ξ1的所有向量ξ2,ξ3. (2)对(1)中的任意向量ξ2,ξ3证明ξ1,ξ2,ξ3无关.
(21)(11分)设二次型f?x1,x2,x3??ax1?ax2??a?1?x3?2x1x3?2x2x3.
222(1)求二次型f的矩阵的所有特征值;
22(2)若二次型f的规范形为y1,求a的值. ?y2(22)(11分)袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.
(1)求pX?1Z?0.
(2)求二维随机变量?X,Y?概率分布.
????2xe??x,x?0(23)(11 分)设总体X的概率密度为f(x)??,其中参数?(??0)未知,X1,X2,…Xn是来自总体X?0,其他的简单随机样本.
(1)求参数?的矩估计量.
(2)求参数?的最大似然估计量.
2010数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分.)
??xlim?(1)极限x???(x?a)(x?b)??(A)1
(B)e
2x=
(C)ea?b
(D)eb?a
(2)设函数z?z(x,y)由方程F(,)?0确定,其中F为可微函数,且F2??0,则x(A)x
(B)z
(C)?x
(D)?z
yzxx?z?z?y= ?x?y 22
1mln2(1?x)
(3)设m,n为正整数,则反常积分?0nxdx的收敛性
(A)仅与m取值有关
(B)仅与n取值有关 (C)与m,n取值都有关
(D)与m,n取值都无关
nn(4)limnx????22)= i?1j?1(n?i)(n?j(A)
?1x1110dx?0(1?x)(1?y2)dy (B)
?0dx?x0(1?x)(1?y)dy
(C)
?1dx?11100(1?x)(1?y)dy
(D)
?10dx?10(1?x)(1?y2)dy
(5)设A为m?n型矩阵,B为n?m型矩阵,若AB?E,则 (A)秩(A)?m,秩(B)?m (B)秩(A)?m,秩(B)?n
(C)秩(A)?n,秩(B)?m
(D)秩(A)?n,秩(B)?n
(6)设A为4阶对称矩阵,且A2?A?0,若A的秩为3,则A相似于
??1????1?(A)?1??
(B)?1??1???
?0????1??0????1????1?(C)??1???
(D)??1???1???? ?0???1??0??0 x?0(7)设随机变量X的分布函数F(x)? 12 0?x?1,则P{X?1}= 1?e?x x?2(A)0 (B)1
(C)
12?e?1
(D)1?e?1
(8)设f1(x)为标准正态分布的概率密度,f)2(x)为[?1,3]上均匀分布的概率密度,f(x)? af1(xbf2(x)(a?0,b?0)为概率密度,则a,b应满足
(A)2a?3b?4 (B)3a?2b?4 (C)a?b?1 (D)a?b?2 二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)
(9)设x?e?t,y??tln(1?u2d20)du,求ydx2= .
t?0 x?0x?023
(10)
??20xcosxdy= . (11)已知曲线L的方程为y?1?x{x?[?1,1]},起点是(?1,0),终点是(1,0), 则曲线积分
?Lxydx?x2dy= .
(12)设??{(x,y,z)|x2?y2?z?1},则?的形心的竖坐标z= .
(13)设α1?(1,2,?1,0)T,α2?(1,1,0,2)T,α3?(2,1,1,?)T,若由α1,α2,α3形成的向量空间的维数是2,则
?= . (14)设随机变量X概率分布为P{X?k}?C(k?0,1,2,?),则EX2= . k!三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(10分)求微分方程y???3y??2y?2xex的通解. (16)(10分)求函数f(x)?(17)(10分)(1)比较
(2)记un?x1(x2?t)e?tdt的单调区间与极值.
12?10lnt[ln(1?t)]ndt与?tnlntdt(n?1,2,?)的大小,说明理由.
010x????lnt[ln(1?t)]ndt(n?1,2,?),求极限limun.
?(?1)n?12nx的收敛域及和函数. (18)(10分)求幂级数?n?12n?1(19)(10分)设P为椭球面S:x2?y2?z2?yz?1上的动点,若S在点P的切平面与xoy面垂直,求P点的轨迹C,并计算曲面积分I????(x?3)y?2z4?y?z?4yz22dS,其中?是椭球面S位于曲线C上方的部分.
11????a?????(20)(11分)设A??0??10?,b??1?,已知线性方程组Ax?b存在两个不同的解.
?1?1?1??????(1)求?,a.
(2)求方程组Ax?b的通解.
T22Q的第三列为x?Qy(21)(11分)设二次型f(x在正交变换下的标准形为,x,x)?xAxy?y12312,且
(22T,0,). 22(1)求A.
(2)证明A?E为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵. (22)(11分)设二维随机变量(X?Y)的概率密度为f(x,y)?Ae?2x2?2xy?y2,???x??,???y??,求常数及A条
件概率密度fY|X(y|x).
24
(23)(11 分)设总体X的概率分布为 X P 1 2 3 1?? ???2 ?2 其中??(0,1)未知,以Ni来表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个数(i?1,2,3),试求常数
a1,a2,a3,使T??aiNi为?的无偏估计量,并求T的方差.
i?13
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题
1.曲线y?(x?1)(x?2)2(x?3)2(x?4)2拐点 A（1，0） B（2，0） C（3，0） D（4，0） 2设数列?an?单调递减，liman?0,Sn?n??无界，则幂级数?a(x?1)?a(n?1,2,?）kkk?1k?1nnn的收敛域
A(-1,1] B[-1,1) C[0,2) D(0,2]
3.设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)?0,f?(0)?0，则函数z?f(x)lnf(y)在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件
Af(0)?1,f??(0)?0 Bf(0)?1,f??(0)?0 Cf(0)?1,f??(0)?0 Df(0)?1,f??(0)?0 4.设I???40lnsinxdx,J??lncotxdx,K??lncosxdx则I、J、K的大小关系是
44??00A I 5.设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第一行得单位矩阵。记 ?100??100?????P1??111?,P2??001?,???000???010??则A= A P1P2 B P2P1 D P1P2 C P2P1 *T*6.设A?(?1,?2,?3,?4)是4阶矩阵，A是A的伴随矩阵，若(1,0,1,0)是方程组Ax?0的一个基础解系，则Ax?0?1?1的基础解系可为 A?1,?3 B?1,?2 C?1,?2,?3 D?2,?3,?4 7.设F1(x),F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x),f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是 Af1(x)f2(x) B2f2(x)F2(x) Cf1(x)F2(x) Df1(x)F2(x)?f2(x)F1(x) 8.设随机变量X与Y相互独立，且EX与EY存在，记U=max{x,y},V={x,y},则E(UV)= A EUEV B EXEY C EUEY D EXEV 二、填空题 25
考研数学一历年真题(2002-2011)版)
