(20)(10分)设幂级数
?axnn?0?n 在(??,??)内收敛,其和函数y(x)满足y???2xy??4y?0,y(0)?0,y?(0)?1.
(1)证明:an?22?an,n?1,2,?. n?1(2)求y(x)的表达式.
?x1?x2?x3?0?(21)(11分) 设线性方程组?x1?2x2?ax3?0,与方程x1?2x2?x3?a?1,有公共解,求a的值及所有公共解.
?x?4x?a2x?023?1(22)(11分)设3阶实对称矩阵A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2.α1?(1,?1,1)T是A的属于特征值?1的一个特征向量,记B?A5?4A3?E,其中E为3阶单位矩阵.
(1)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B.
(23)(11分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 (1)求P{X?2Y}.
(2)求Z?X?Y的概率密度.
(24)(11分)设总体X的概率密度为X1,X2?,Xn是来自总体x的简单随机样本,X是样本均值
(1)求参数?的矩估计量??.
(2)判断4X是否为?的无偏估计量,并说明理由.
22?2?x?y,0?x?1,0?y?1 f(x,y)??0,其他??1?2?,0?x????1f(x;?)??,??x?12(1??)??0,其他?? 16
2008数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,.)
?x2(1)设函数f(x)?0ln(2?t)dt则f?(x)的零点个数
(A)0
(B)1 (C)2 (D)3
(2)函数f(x,y)?arctanxy在点(0,1)处的梯度等于 (A)i
(B)-i
(C)j
(D)?j
(3)在下列微分方程中,以y?C1ex?C2cos2x?C3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解的是 (A)y????y???4y??4y?0 (B)y????y???4y??4y?0 (C)y????y???4y??4y?0
(D)y????y???4y??4y?0
(4)设函数f(x)在(??,??)内单调有界,?xn?为数列,下列命题正确的是 (A)若?xn?收敛,则?f(xn)?收敛 (B)若?xn?单调,则?f(xn)?收敛 (C)若?f(xn)?收敛,则?xn?收敛
(D)若?f(xn)?单调,则?xn?收敛
(5)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵. 若A3?0,则 (A)E?A不可逆,E?A不可逆
(B)E?A不可逆,E?A可逆
(C)E?A可逆,E?A可逆
(D)E?A可逆,E?A不可逆
?x(6)设A为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程(x,y,z)A???y???1??z??在正交变换下的标准方程的图形如图,则A的正特征值个数为
(A)0 (B)1 (C)2
(D)3
(7)设随机变量X,Y独立同分布且X分布函数为F?x?,则Z?max?X,Y?分布函数为 (A)F2?x?
(B) F?x?F?y?
(C) 1???1?F?x??2?
(D) ??1?F?x?????1?F?y???
(8)设随机变量X~N?0,1?,Y~N?1,4?且相关系数?XY?1,则 (A)P?Y??2X?1??1
(B)P?Y?2X?1??1 (C)P?Y??2X?1??1
(D)P?Y?2X?1??1二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)微分方程xy??y?0满足条件y?1??1的解是y??????????????????.
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(10)曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????. (11)已知幂级数?an?x?2?n?0?n?在x?0处收敛,在x??4处发散,则幂级数
?an?x?3?的收敛域为
n?0n?????????????????.
(12)设曲面?是z?4?x2?y2的上侧,则??xydydz?xdzdx?x2dxdy??????????????????.
?(13)设A为2阶矩阵,α1,α2为线性无关的2维列向量,Aα1?0,Aα2?2α1?α2,则A的非零特征值为?????????????????.
2(14)设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则PX?EX??????????????????.
??三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
sinx?sin?sinx??sinx???(15)(10分)求极限lim. x?0x4(16)(10分) 计算曲线积分
?Lsin2xdx?2?x2?1?ydy,其中L是曲线y?sinx上从点?0,0?到点??,0?的一段.
?x2?y2?2z2?0(17)(10分)已知曲线C:?,求曲线C距离XOY面最远的点和最近的点.
?x?y?3z?5(18)(10分)设f?x?是连续函数, (1)利用定义证明函数F?x???f?t?dt可导,且F??x??f?x?.
0x(2)当f?x?是以2为周期的周期函数时,证明函数G?x??2(19)(10分)f?x??1?x(0?x??),用余弦级数展开,并求
2T?x0f(t)dt?x?f(t)dt也是以2为周期的周期函数.
02?n?1???1?n2n?1的和.
(20)(11分)A?ααT?ββT,α为α的转置,β为β的转置.证明: (1)r(A)?2.
(2)若α,β线性相关,则r(A)?2.
T?2a1??2?a2a??,现矩阵A满足方程AX?B, (21)(11分)设矩阵A?????1???2a2a??n?n其中X??x1,?,xn?,B??1,0,?,0?, (1)求证A??n?1?a.
nT(2)a为何值,方程组有唯一解,求x1. (3)a为何值,方程组有无穷多解,求通解.
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i?(22)(11分)设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为P?X??11,0,?1,Y的概率密度为?i??3f?10?y?1Y?y???,记Z?X?Y?0其它, (1)求P??Z?1?2X?0???. (2)求Z的概率密度.
(23)(11分) 设X1,X2,?,Xn是总体为N(?,?2)的简单随机样本.
记X?1n?nX21n212i,S?i?1n?1?(Xi?X),T?X2?S i?1n (1)证明T是?2的无偏估计量.
(2)当??0,??1时 ,求DT.
2009数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分.)
(1)当x?0时,f?x??x?sinax与g?x??x2ln?1?bx?等价无穷小,则
(A)a?1,b??16
(B)a?1,b?16 (C)a??1,b??16 (D)a??1,b?16 (2)如图,正方形
??x,y?x?1,y?1?被其对角线划分为四个区域
Dk?k?1,2,3,4?,Ik???ycosxdxdy,则max1?k?Ik??
D?4k(A)I1 (B)I2 (C)I3
(D)I4
(3)设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为
f(x) O -2 0 -1 1 2 3 x
则函数F?x???x0f?t?dt的图形为
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f(x) 1 0 -1 f(x) 1 -2 (A)
1 2 3 x
(B)
-2 -1 0 1 2 3 x
f(x) 1 0 f(x) 1 -1 (C)
1 2 3 x
n??-2
(D)
-1 0 1 2 3 x
(4)设有两个数列?an?,?bn?,若liman?0,则 (A)当
?bn?1??n收敛时,
?abn?1??nn收敛. (B)当
?bn?1??n发散时,
?abn?1??nn发散.
(C)当
?bn?1n收敛时,
?abn?122nn收敛. (D)当
?bn?1n发散时,
?abn?122nn发散.
(5)设α1,α2,α3是3维向量空间R的一组基,则由基α1,311α2,α3到基α1?α2,α2?α3,α3?α1的过渡矩阵为 23
?101?
??(A)?220?
?033???
?120???(B)?023? ?103????1?2?1(C)???2?1???214141?41???6?1? 6??1??6?
?1?2?1(D)??4?1????6?1214161?2??1?? 4??1??6??OA?(6)设A,B均为2阶矩阵,A,B分别为A,B的伴随矩阵,若A?2,B?3,则分块矩阵??的伴随矩阵为
BO??**?O3B*?(A)?*?
O??2A?O(B)?*?3A2B*?? O??O3A*?(C)?*?
O??2B?O(D)?*?3B2A*?? O? 20
考研数学一历年真题(2002-2011)版
