2004数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线y?lnx上与直线x?y?1垂直的切线方程为__________ . (2)已知f?(ex)?xe?x,且f(1)?0,则f(x)=__________ . (3)设L为正向圆周x2?y2?2在第一象限中的部分,则曲线积分
2?Lxdy?2ydx的值为__________.
d2ydy?4x?2y?0(x?0)的通解为__________ . (4)欧拉方程x2dxdx?2?(5)设矩阵A?1???01200??***0,矩阵B满足ABA?2BA?E,其中A为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则??1?B=__________ .
(6)设随机变量X服从参数为?的指数分布,则P{X?二、选择题(每小题4分) (7)把x?0时的无穷小量??小,则正确的排列次序是
(A)?,?,?
(B)?,?,? (C)?,?,?
(D)?,?,?
?DX}= __________ .
x?x0costdt,???tantdt,???sint3dt,使排在后面的是前一个的高阶无穷
002x2(8)设函数f(x)连续,且f?(0)?0,则存在??0,使得 (A)f(x)在(0,?)内单调增加
(B)f(x)在(??,0)内单调减少
(D)对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0)
(C)对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0)
(9)设
?an?1n???n为正项级数,下列结论中正确的是
(A)若limnan=0,则级数
?an?1?n收敛
(B)若存在非零常数?,使得limnan??,则级数
n???an?1?n发散
(C)若级数
2limnan?0 收敛,则a?nn?1??n??(D)若级数
?an?1n发散, 则存在非零常数?,使得limnan??
n?? 6
(10)设f(x)为连续函数,F(t)(A)2f(2)
??dy?f(x)dx,则F?(2)等于
1ytt(B)f(2) (C)?f(2) (D) 0
(11)设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ?C的可逆矩阵Q为
?010??010??010??011?????????(A)100 (B)101 (C)100 (D)100
?????????????101???001???011???001??(12)设A,B为满足AB?O的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关 (C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关
(13)设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的?(0???1),数u?满足P{X?u?}??,若P{X?x}??,则x等于
(A)u?
2 (B)u1??2 (C)u1??
2
(D) u1??
1n(14)设随机变量X1,X2,?,Xn(n?1)独立同分布,且其方差为??0. 令Y??Xi,则
ni?12(A)Cov(X1,Y)??2n (B)Cov(X1,Y)??2 (C)D(X1?Y)?n?22n?12? (D)D(X1?Y)?? nn三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
222(15)(12分)设e?a?b?e,证明lnb?lna?4(b?a). 2e (16)(11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.
现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k?6.0?10). 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?
(注:kg表示千克,km/h表示千米/小时) (17)(12分)计算曲面积分I?33222?2xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy,其中是曲面z?1?x?y(z?0)的上侧. ???6 (18)(11分)设有方程x?nx?1?0,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根xn,并证明当??1时,级数收敛.
n?x?nn?1? (19)(12分)设z?z(x,y)是由x?6xy?10y?2yz?z?18?0确定的函数,求z?z(x,y)的极值点和极值.
222 7
?(1?a)x1?x2???xn?0,?2x?(2?a)x???2x?0,?12n (20)(9分)设有齐次线性方程组 ??????????nx1?nx2???(n?a)xn?0,试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.
(n?2),
?12?3??? (21)(9分)设矩阵A??14?3的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.
????1a5??(22)(9分)设A,B为随机事件,且P(A)?令X??111,P(B|A)?,P(A|B)?, 432?1,A发生,?1,B发生, Y??
?0,A不发生;?0,B不发生.
求:(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布. (2)X和Y的相关系数?XY.
1??1??,x?1,(23)(9分)设总体X的分布函数为F(x,?)??其中未知参数??1,X1,X2,?,Xn为来自总体X的xx?1,??0,简单随机样本,
求:(1)?的矩估计量. (2)?的最大似然估计量.
2005数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
x2(1)曲线y?的斜渐近线方程为 _____________.
2x?1(2)微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??1的解为____________. 9(1,2,3)?1x2y2z2?u??{1,1,1},则(3)设函数u(x,y,z)?1?,单位向量n??n612183(4)设?是由锥面z?=.________.
x2?y2与半球面z?R2?x2?y2围成的空间区域,?是?的整个边界的外侧,则
??xdydz?ydzdx?zdxdy?____________.
?(5)设α1,α2,α3均为3维列向量,记矩阵A?(α1,α2,α3),B?(α1?α2?α3,α1?2α2?4α3,α1?3α2?9α3), 如果A?1,那么B? .
8
(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X, 再从1,2,?,X中任取一个数,记为Y, 则P{Y?2}=____________. 二、选择题(每小题4分) (7)设函数
f(x)?limn1?xn??3n,则f(x)在(??,??)内
(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点 (8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,\M?N\表示\M的充分必要条件是N\则必有 (A)F(x)是偶函数?f(x)是奇函数 (C)F(x)是周期函数?f(x)是周期函数 (9)设函数u(x,y)(B)F(x)是奇函数?f(x)是偶函数
(D)F(x)是单调函数?f(x)是单调函数
x?y??(x?y)??(x?y)???(t)dt, 其中函数?具有二阶导数,?x?y 具有一阶导数,则必有
?2u?2u(A)2??2
?x?y?2u?2u(B)2? 2?x?y?2u?2u (C)?2
?x?y?y
?2u?2u(D)?2
?x?y?x(10)设有三元方程xy?zlny?exz?1,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程 (A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z?z(x,y)
(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和z?z(x,y) (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y?y(x,z)和z?z(x,y) (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和y?y(x,z)
(11)设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,则α1,A(α1?α2)线性无关的充分必要条件是
(A)?1?0
(B)?2?0
(C)?1?0
)?2?0
(12)设A为n(n?2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B.A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,则 (A)交换A的第1列与第2列得B (C)交换A的第1列与第2列得?B (13)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为
X Y 0 1 已知随机事件{X?0}与{X?Y?1}相互独立,则
0 0.4 1 a 0.1 ****
(B)交换A的第1行与第2行得B
(D)交换A的第1行与第2行得?B
****
b 9
(A)a?0.2,b?0.3 (B)a?0.4,b?0.1 (C)a?0.3,b?0.2
D)a?0.1,b?0.4
(14)设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X为样本均值,S2为样本方差,则
(n?1)X(n?1)X12~t(n?1) (D)n(A)nX~N(0,1) (B)nS~?(n) (C)~F(1,n?1) S?Xi222i?2三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(11分)设D?{(x,y)x?y?积分
22xy[1?x?y]dxdy. ??D?222,x?0,y?0},[1?x2?y2]表示不超过1?x2?y2的最大整数. 计算二重
(16)(12分)求幂级数
?(?1)n?1(1?n?11)x2n的收敛区间与和函数f(x).
n(2n?1)(17)(11分)如图,曲线C的方程为y?f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线
l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数
f(x)具有三阶连续导数,计算定积分
?30(x2?x)f???(x)dx.
(18)(12分)已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)?0,f(1)?1. 证明:
(1)存在??(0,1), 使得f(?)?1??.
(2)存在两个不同的点?,??(0,1),使得f?(?)f?(?)?1.
(19)(12分)设函数?(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分
???(y)dx?2xydy2x2?y4L的值恒为同一常数.
(1)证明:对右半平面x?0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有(2)求函数?(y)的表达式.
???(y)dx?2xydy2x?y24C?0.
222(20)(9分)已知二次型f(x1,x2,x3)?(1?a)x1?(1?a)x2?2x3?2(1?a)x1x2的秩为2.
(1)求a的值；
(2)求正交变换x?Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形. (3)求方程f(x1,x2,x3)=0的解.
10
考研数学一历年真题(2002-2011)版)
