2002数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)
???edx= _____________.
xln2x(2)已知ey?6xy?x2?1?0,则y??(0)=_____________. (3)yy???y?2?0满足初始条件y(0)?1,y?(0)?1的特解是_____________. 2222(4)已知实二次型f(x1,x2,x3)?a(x1?x2?x3)?4x1x2?4x1x3?4x2x3经正交变换可化为标准型f?6y12,则
a=_____________.
(5)设随机变量X~N(?,?2),且二次方程y2?4y?X?0无实根的概率为0.5,则?=_____________. 二、选择题(每小题3分.)
(1)考虑二元函数f(x,y)的四条性质:
①f(x,y)在点(x0,y0)处连续, ②f(x,y)在点(x0,y0)处的一阶偏导数连续, ③f(x,y)在点(x0,y0)处可微, ④f(x,y)在点(x0,y0)处的一阶偏导数存在. 则有:
(A)②?③?① (2)设un?0,且lim(A)发散
?
(B)③?②?① (C)③?④?① (D)③?①?④
n1n?11)为 ?1,则级数?(?1)(?n??uuunn?1n(B)绝对收敛 (C)条件收敛
(D)收敛性不能判定.
(3)设函数f(x)在R上有界且可导,则 (A)当limf(x)?0时,必有limf?(x)?0
x???x???(B)当limf?(x)存在时,必有limf?(x)?0
x???x???(C) 当limf(x)?0时,必有limf?(x)?0
x?0?x?0?(D) 当limf?(x)存在时,必有limf?(x)?0.
x?0?x?0?(4)设有三张不同平面,其方程为aix?biy?ciz?di(i?1,2,3)它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为
(5)设X和Y是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为fX(x)和fY(y),分布函数分别为FX(x)和
FY(y),则
(A)fX(x)＋fY(y)必为密度函数 (B) fX(x)fY(y)必为密度函数
1
(C)FX(x)＋FY(y)必为某一随机变量的分布函数 (D) FX(x)FY(y)必为某一随机变量的分布函数.
三、(6分)设函数f(x)在x?0的某邻域具有一阶连续导数,且f(0)f?(0)?0,当h?0时,若
af(h)?bf(2h)?f(0)?o(h),试求a,b的值.
四、(7分)已知两曲线y?f(x)与
y??arctanx0e?t2dt在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限
2limnf(). n??n五、(7分))计算二重积分
??eDmax{x2,y2}dxdy,其中D?{(x,y)|0?x?1,0?y?1}.
六、(8分)设函数f(x)在R上具有一阶连续导数,L是上半平面(y>0)内的有向分段光滑曲线,起点为(a,b),终点为(c,d).记I?1x22[1?yf(xy)]dx?[yf(xy)?1]dy, 2?yy(1)证明曲线积分I与路径L无关.
(2)当ab?cd时,求I的值. 七、(7分)
x3n(1)验证函数y(x)??(???x???)满足微分方程y???y??y?ex.
n?0(3n)!?x3n (2) 求幂级数y(x)??的和函数.
(3n)!n?0?八、(7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy面,其底部所占的区域为D?{(x,y)|x2?y2?xy?75},小山的高度函数为h(x,y)?75?x2?y2?xy.
(1)设M(x0,y0)为区域D上一点,问h(x,y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为
g(x0,y0),写出g(x0,y0)的表达式.
(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D的边界线上找出使(1)中g(x,y)达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.
九、(6分)已知四阶方阵A?(α1,α2,α3,α4), α1,α2,α3,α4均为四维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,α1?2α2?α3.若β?α1?α2?α3?α4,求线性方程组Ax?β的通解.
十、(8分)设A,B为同阶方阵,
(1)若A,B相似,证明A,B的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.
2
(3)当A,B为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.
1xcos 0?x?x十一、(7分)设维随机变量X的概率密度为f(x)? 2 20 其它对X独立地重复观察4次,用Y表示观察值大于十二、(7分)设总体X的概率分布为
?2的次数,求Y的数学期望. 31 2 3 1?2? X P 其中?(0???
0 ?2 2?(1??) ?2 1)是未知参数,利用总体X的如下样本值：3,1,3,0,3,1,2,3. 求?的矩估计和最大似然估计值. 22003年全国硕士研究生入学统一考试
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
1(1)lim(cosx)x?0ln(1?x2) = .
(2)曲面z?x2?y2与平面2x?4y?z?0平行的切平面的方程是 . (3)设x?2?an?0?ncosnx(???x??),则a2= .
(4)从R的基α1???,α2??2?1??0??1??1??1?到基β?,β????2??的过渡矩阵为 . 1??1??1??2?6x0?x?y?1(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)? ,则P{X?Y?1}? .
0其它(6)已知一批零件的长度X(单位:cm)服从正态分布N(?,1),从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则?的置信度为0.95的置信区间是 .
(注:标准正态分布函数值?(1.96)?0.975,?(1.645)?0.95.) 二、选择题(每小题4分,)
(1)设函数f(x)在(??,??)内连续,其导函数的图形如图所示,则f(x)有
(A)一个极小值点和两个极大值点
(B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点
(2)设{an},{bn},{cn}均为非负数列,且liman?0,limbn?1,limcn??,则必有
n??n??n?? 3
考研数学一历年真题(2002-2011)版)
