2016年全国高中数学联赛A卷
一试
一、填空题
1. 设实数a满足a?9a3?11a?a，则a的取值范围是__________.
2. 设复数z,w满足z?3，?z?w??z?w??7?4i，其中i是虚数单位，z,w分别表示z,w的共轭复数，则?z?2w??z?2w?的模为__________.
3. 正实数u,v,w均不等于1，若loguvw?logvw?5，logvu?logwv?3，则logwu的值为__________. 4. 袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为 .
5. 设P为一圆锥的顶点，A,B,C是其底面圆周上的三点，满足?ABC?90?，M为AP的中点.若
AB?1,AC?2,AP?2，则二面角M?BC?A的大小为__________.
6. 设函数f?x??sin4kxkx，其中k是一个正整数.若对任意实数a，均有?cos41010?f?x?a?x?a?1???f?x?x?R?，则k的最小值为__________.
27. 双曲线C的方程为x2?y?1，左、右焦点分别为F1、F2.过点F2作一直径与双曲线C的右半支交于
3点P,Q，使得?F1PQ?90?，则?F1PQ的内切圆半径是__________. 8. 设a1,a2,a3,a4是1,2,?,100中的四个互不相同的数，满足
?a二、解答题
21222222?a2?a3a2?a3?a4??a1a2?a2a3?a3a4?，
???则这样的有序数组?a1,a2,a3,a4?的个数为__________.
9. 在?ABC中，已知AB?AC?2BA?BC?3CA?CB.求sinC的最大值. 10. 已知f?x?是R上的奇函数，f?1??1，且对任意x?0，均有f??x???xf?x?. ?x?1? 求f?1?f??1??1??1??1??1??1??1???f??f???f??f?????f??f??的值. ?100??2??99??3??98??50??51?1
11. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，F是x轴正半轴上 的一个动点.以F为焦点、O为顶点作抛物线C.设P是第一象 限内C上的一点，Q是x轴负半轴上一点，使得PQ为C的切 线，且PQ?2.圆C1,C2均与直线OP相切于点P，且均与
x轴相切.求点F的坐标，使圆C1与C2的面积之和取到最小值.
2016年全国高中数学联赛A卷
二试
2一、设实数a1,a2,?,a2016满足9ai?11ai?1?i?1,2,?,2015?.
2222求a1?a2a2?a3?a2015?a2016a2016?a1的最大值.
????????
二、如图所示，在?ABC中，X、（X、B、，使得BX?AC?CY?AB. C、Y是直线BC上的两点Y顺次排列）设?ACX，?ABY的外心分别为O1,O2，直线O1O2与AB、AC分别交于点U、V. 证明：?AUV是等腰三角形.
三、给定空间中10个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值.
四、设p与p?2均是素数，p?3.数列?an?的定义为a1?2，an?an?1???pan?1??，n?2,3,?. n??这里?x?表示不小于实数x的最小整数.证明：对n?3,4,?,p?1均有npan?1?1成立.
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2016年全国高中数学联赛A卷真题word版
